初一数学北师大版春季班 第8讲 三角形--提高班 试卷

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第8讲 三角形

知识点1 三角形的三边关系
1、三角形三条边之间的关系：
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”
【典例】
例1（2020•浙江自主招生）三条不相等的整数长度的线段不能构成三角形的总长度和的最小值为1+2+3＝6，四条不相等的整数长度的线段任意三条均不能构成三角形的总长度和的最小值为1+2+3+5＝11，由此请探究：一根钢管长1840cm，现把此钢管截成长度为互不相等整数长（单位cm）的小钢管，使任意三根钢管均不能围成三角形，则这根钢管最多可以截成　14　根小钢管．
【解答】解：1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610＝1595．
所以把此钢管截成整数长的小钢管，使任意三根钢管均不能围成三角形，这根钢管最多可以截成14根整数长的小钢管．
故答案为14．
【方法总结】
本题考查了三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边．注意分析1+2+3＝6和1+2+3+5＝11的含义．
例2 （2020秋•江夏区校级月考）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为18cm，则它的最短边的为　5cm　．
【解答】解：设三边长分别为xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，由题意得，
x+x+1+x+2＝18，
解得：x＝5，
∴x+1＝6，x+2＝7，
∴这个三角形的三边长依次为5cm，6cm，7cm，
∴最短边为：5cm，
故答案为：5cm．
【方法总结】
本题考查了一元一次方程的应用以及三角形三边关系的运用，解答本题的关键是根据题意设出三角形的三边长．
【随堂练习】
1．（2020春•溧阳市期末）一个三角形的3条边长分别为xcm，（x﹣1）cm，（x﹣2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围为　3＜x≤14　．
【解答】解：由题意得：x-1+x-2＞xx+x-1+x-2≤39，
解得：3＜x≤14，
故答案为：3＜x≤14．
2．（2020春•市北区期末）小颖已有两根长度分别为5cm、7cm的木棒，再给一根多长的木棒，能方便她把三根木棒首尾相接摆成一个三角形？请你提供一个合适的木棒长度．你提供的长度是　5（答案不唯一）　cm．
【解答】解：∵两个长分别为5cm和7cm的木棒，再取一根木棒与前两根搭成一个三角形，
∴第三根木棒的长x应满足：2cm＜x＜12cm．
∴5cm适合，
故答案为：5（答案不唯一）．
3．（2020秋•八步区期中）已知，△ABC的三边长为4，9，x．
（1）求△ABC的周长的取值范围；
（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．
【解答】解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x，
∴9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，
∴9+4+5＜△ABC的周长＜9+4+13，
即：18＜△ABC的周长＜26；
（2）∵△ABC的周长是偶数，由（1）结果得△ABC的周长可以是20，22或24，
∴x的值为7，9或11．
知识点2 三角形的中线
三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．
三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。
【典例】
例1 （2020•恩施市校级模拟）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　cm．

【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
【方法总结】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
例2 （2020春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．
（2）求BC边的取值范围．

【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜BC＜10．
【方法总结】
本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，根据周长的差得出边AB与AC的差等于4是解题的关键．

【随堂练习】
1．（2020春•海淀区校级期末）已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为　11　．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，
∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，
故答案为：11

2．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

【解答】解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，
∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x=60x+y=40，
解得：x=12y=28，
当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，
所以AC＝48，AB＝28．
知识点3三角形的高线
1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．
2、三角形的面积：
（1）三角形的面积：底与高乘积的一半
（2）等底等高的两个三角形面积相等
（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比
【典例】
例1（2020秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【方法总结】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•孝义市期中）下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、AD不是△ABC的高；
B、AD不是△ABC的高；
C、AD不是△ABC的高；
D、AD是△ABC的高；
故选：D．
2．（2020春•舞钢市期末）如图，∠CBD＝∠E＝∠F＝90°，则线段　AE　是△ABC中BC边上的高．

【解答】解：∵AE⊥BC于E，
∴△ABC中BC边上的高是AE．
故答案为：AE．
知识点4 三角形的角平分线
1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．
2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。
3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。
【典例】
例1（2020秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故选：B．
【方法总结】
本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
知识点5 三角形的内角和定理
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
【典例】
例1（2020秋•东丽区期中）如图，已知AD⊥BC，∠BAD＝∠ABD，∠C＝65°，求∠BAC的度数．

【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠ABD，∠C＝65°，
∴∠BAD=12（180°﹣∠ADB）＝45°，∠CAD＝90°﹣∠C＝25°，
∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝25°+45°＝70°．
【方法总结】
本题考查了垂直的定义，三角形的内角和定理等知识点，能求出∠CAD和∠BAD的度数是解此题的关键．
例2（2020秋•孝义市期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠C＝75°，∠BED＝65°，求∠BAC的度数．

【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠BDE＝90°．
在△BDE中，∠BED＝65°，∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBE＝2×25°＝50°．
在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣50°﹣75°＝55°．
【方法总结】
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•青田县期末）如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为　30°　．

【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝75°，
又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为30°．
2．（2020秋•安庆期中）如图，F是AB上一点E是AC上一点，BE、CF相交于点D，∠A＝70°，∠ACF＝30°，∠ABE＝20°，则∠BDC的度数为（　　）

A．172° B．80° C．120° D．60°
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC﹣∠ABE）+（∠ACB﹣∠ACF）＝∠ABC+∠ACB﹣∠ABE﹣∠ACF＝110°﹣20°﹣30°＝60°．
在△BCD中，∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
3．（2020秋•会宁县期末）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为（　　）

A．62° B．68° C．78° D．90°
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，
∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝70°+20°＝90°，
在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∴∠CFE＝∠BFD＝62°．
故选：A．
知识点6 三角形的外角性质
1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．
2、三角形外角的性质：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
3、燕尾形

结论：
【典例】
例1（2020秋•平定县期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（　　）

A．55° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM=12∠ABC=12×60°＝30°，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠CBN=12∠EBC=12×（60°+90°）＝75°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．
故选：C．
【方法总结】
本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键．
例2 （2020秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，
∴∠PCM=12∠ACM，∠PBC=12∠ABC，
∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，
∴∠PCM=12∠ABC+12∠BAC=12∠ABC+∠BPC，
∴∠BPC=12∠BAC＝40°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠NAC＝100°，
∴∠NAP＝50°，
故选：C．

【方法总结】
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质和角平分线的定义解答．
例3 （2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
【方法总结】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
例4 （2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．
（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；
（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）

【解答】解：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝70°，
∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣55°
＝125°；
（2）∠BDC＝90°-12∠A．
理由如下：
∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，
＝180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
＝180°-12（∠A+180°），
＝90°-12∠A；
【方法总结】
本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，结合图形，灵活运用基本知识解决问题．

【随堂练习】
1．（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（　　）

A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°
【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD=12∠ABD=12×(45°+30°)=37.5°，∠BDM=12∠BDC=12×60°=30°，
∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，
故选：C．
2．（2020秋•大安市期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
3．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．

【解答】解：（1）连接OA，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；

（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．


综合运用
1．（2020秋•确山县期中）如图△ABC中，AB＝21，AC＝20，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　1　．

【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝1，
故答案为：1．
2．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．

【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x，
∵BD是中线，
∴AD＝DC=12x，
由题意得，2x+12x＝30，
解得，x＝12，
则AC＝12，AB＝24，
∴BC＝20-12×12＝14．
答：AB＝24，BC＝14．
3．（2020秋•吉林期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．

【解答】解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝35°；
（2）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣35°＝15°．
4．（2020秋•太原期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，
故选：C．
5．（2020秋•荔湾区期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）

A．120° B．105° C．60° D．45°
【解答】解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故选：B．

6．（2020秋•庆阳期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【问题探究】
（2）如图2，直线AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝32°，∠ADC＝22°，求∠P的度数．

【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（32°+22°）＝27°．

7．（2020春•双阳区期末）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　50　度，∠P＝　115　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　∠P-12∠A＝90°　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　∠Q＝90°-12∠A　．

【解答】【探究】
解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP=12∠ABC，∠BCP=12∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP=12（∠ABC+∠ACB）=12×130°＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：50，115；
（2）∠P-12∠A＝90°．理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P+12（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠P+12（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠P-12∠A＝90°；
故答案为：∠P-12∠A＝90°；
【应用】
解：∠Q＝90°-12∠A．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ=12（180°﹣∠ABC）＝90°-12∠ABC，
∠BCQ=12（180°﹣∠ACB）＝90°-12∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°-12∠ABC+90°-12∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠Q=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A；
故答案为：∠Q＝90°-12∠A．


8．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．
①∠BAC＝　80　°，∠DAE＝　20　°；
②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．

【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，
∵AD平分∠ABC，
∴∠CAD=12∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．
故答案为80，20．

②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠FDE＝∠ADC＝70°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．

（3）∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，
∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，
∴∠DAE＝20°．
9．（2020秋•江岸区校级月考）如图1，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，AD平分∠BAC，P是AD延长线上一点，过P作PE⊥BC，求证：∠P=12（∠C﹣∠B）．

【解答】解：（1）如图1中，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=12×60°＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝30°﹣10°＝20°．

（2）∵PE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∵∠BAD=12∠BAC＝90°-12（∠B+∠C），
∴∠P＝90°﹣∠PDE，
∵∠PDE＝∠ADC＝∠B+∠DAB，
∴∠P＝90°﹣[∠B+90°-12（∠B+∠C）]=12（∠C﹣∠B）．


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日期：2021/1/28 15:39:07；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626