初一数学北师大版春季班 第9讲 全等三角形--基础班 试卷

这是一份初一数学北师大版春季班 第9讲 全等三角形--基础班，文件包含初一数学北师大版春季班第9讲全等三角形--基础班教师版docx、初一数学北师大版春季班第9讲全等三角形--基础班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
第9讲  全等三角形知识点1 全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．【典例】例1（2020秋•齐河县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠A＝55°，∠C＝35°，则∠DOE的度数是（　　）A．105° B．115° C．125° D．130°【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C，∵∠C＝35°，∴∠B＝35°，∴∠OEC＝∠B+∠A＝35°+55°＝90°，∴∠DOE＝∠C+∠OEC＝35°+90°＝125°．故选：C．【方法总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（　　）A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．【解答】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，在△EDB和△ADC中，，∴△EDB≌△ADC（SAS），∴BE＝AC＝3，∵△ABE中，AB＝5，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∵AE＝2AD，∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．故选：C．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．例3 （2020秋•越秀区期末）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【方法总结】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•宽城区期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（　　）A．50° B．65° C．70° D．80°【解答】解：在△ADC与△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，∵∠BAC＝70°，∠C＝30°，∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°，∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°，故选：A．2．（2020秋•海珠区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝　20　°．【解答】解：∵∠C＝50°，∠A＝90°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠BED＝90°，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴∠ABD＝∠DBE，∴∠ABD∠ABC＝20°，故答案为：20．3．（2020秋•海珠区校级期末）已知：如图，AC＝BD，BD⊥AD于点D，AC⊥BC于点C．求证：∠ABC＝∠BAD．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠BDA＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠ABC＝∠BAD．知识点2 角平分线与全等三角形角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，    【典例】例1（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．【方法总结】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．例2（2020秋•潮阳区期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC； （2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．【方法总结】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C．2．（2020秋•江城区月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，∴AD平分∠BAC．  综合运用1．（2020秋•连江县期中）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，则下列结论；①∠C＝∠BFD；②∠BAD＝∠ABC；③BE⊥AC，其中正确的结论有（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵AD⊥BC，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠C＝∠BFD，BD＝AD，∴∠BAD＝∠ABC，∵∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠C+∠DBF＝90°，∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC；故①②③正确．故选：D．2．（2020秋•西峰区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝　1.5　cm．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E＝∠ADC＝90°∴∠DAC+∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠DCA＝90°∴∠DAC＝∠BCE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），故答案为1.53．（2020春•思明区校级月考）如图，点E在AB上，EC是∠BED的角平分线，∠CEB＝∠B，∠DCA＝∠BCE．求证：CD＝CA．【解答】证明：∵∠CEB＝∠B，∴CE＝CB．∵EC平分∠BED，∴∠CED＝∠CEB，∴∠CED＝∠B．∵∠DCA＝∠BCE，∴∠DCE＝∠ACB．在△DCE和△ACB中， ∴△DCE≌△ACB（ASA）．∴CD＝CA．4．（2020秋•河西区期末）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．求证：∠BAD＝∠CAD．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．5．（2020秋•集贤县期末）如图，在△ABC与△CDE中，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝CE，BC＝DE．（1）求证：BD＝AB+DE．（2）求∠ACE的度数．【解答】证明：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠ACB＝∠CED，∵∠CED+∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．日期：2021/1/28 18:00:59；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626