初一数学北师大版春季班 第9讲 全等三角形--尖子班 试卷

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第9讲  全等三角形知识点1 全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．【典例】例1（2020秋•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（　　）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF【解答】解：∵EF⊥AC，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴∠F＝∠BCF，故A正确；∵EF⊥AC，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC和Rt△FEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△FEC（HL），∴AC＝EF＝12cm，∵CE＝BC＝5cm，∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；如果AE＝CE，∵EF∥BC，∴EG是△ABC的中位线，∴EF平分AB，而AE与CE不一定相等，∴不能证明EF平分AB，故C错误；∵Rt△ABC≌Rt△FEC，∴∠A＝∠F，∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AB⊥CF，故D正确．∴结论不正确的是C．故选：C．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．例2 （2020秋•河南期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BE＝CD，点F在AE的延长线上，AF＝AC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝18°，求∠AFC的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵BE＝CD，∴BE﹣DE＝CD﹣DE，即BD＝CE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠FAC＝18°，∵AF＝AC，∴∠AFC．【方法总结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型．【随堂练习】1．（2020秋•孝义市期中）AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，分别连接BF、CE，下列说法：①BF＝CE，②△ABD和△ACD面积相等，③BF∥CE，④∠ACE＝∠DCE．正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴CE＝BF，∠F＝∠CED，故①正确，∴BF∥CE，故③正确，∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，但不能得出∠ACE＝∠DCE，故④错误；综上所述，正确的是①②③．故选：C．2．（2020秋•增城区期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是　①②④　（填序号）【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，∴②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC，∴③错误； ④由③知AD＝AE＝EC，∴④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故答案是：①②④．3．（2020秋•武威期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．【解答】证明：（1）∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．（2）∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝40°，∴∠C＝∠EDC＝70°，∴∠BDE＝∠C＝70°．知识点2 角平分线与全等三角形角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，    【典例】例1（2020春•邵阳县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD；（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CE，在Rt△CBE和Rt△CFD中，，∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），∴BE＝FD；（2）解：在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝8，∴CD6，∵AC＝AC，CD＝CE，∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），∴S△ACD＝S△ACE，∵Rt△CBE≌Rt△CFD，∴S△CBE＝S△CFD，∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝26×8＝48．【方法总结】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．例2（2020秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AE+CD＝AC；（3）求证：OE＝OD．【解答】（1）解：在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB∠BAC，∠OCD＝∠OCA∠ACB，在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°（∠BAC+∠ACB）＝180°120°＝120°； （2）证明：∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，在△AOE和△AOF中， ∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE＝∠AOF，∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°，又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF，在△COD和△COF中，，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF．又∵AF＝AE，∴AC＝AF+CF＝AE+CD，即AE+CD＝AC； （3）证明：∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，∴OE＝OF，OF＝OD，∴OE＝OD．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，把相关的线段划到同一个三角形中找关系．【随堂练习】1．（2020秋•开福区校级月考）如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC，AB于CB两点．（1）判断AE与DE的位置关系．并说明理由：（2）求证：AD＝AB+DC【解答】解：（1）AE⊥DE，理由：∵DC∥AB，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，∴∠3∠ADC，∠1∠BAD，∴∠1+∠3（∠BAD+∠ADC）180°＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥DE；（2）在AD上截取AF＝AB，连接EF，如图所示：在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠AFE＝∠B，∵AB∥DC，∴∠B+∠C＝180°，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠C，在△DEF和△DEC中，，∴△DEF≌△DEC（AAS），∴DF＝DC，∴AB+DC＝AF+DF＝AD，即AD＝AB+DC．2．（2020•乐清市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC是∠BAD的角平分线．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BCD＝60°，AC＝BC，求∠ADB的度数．【解答】证明：（1）∵AC是∠BAD的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．（2）∵△ABC≌△ADC，∠BCD＝60°，∴∠DCA＝∠BCA＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CAD，∵在△ADO与△ABO中，∴△ADO≌△ABO（SAS），∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴∠ADB＝90°﹣75°＝15°．   综合运用1．（2020秋•连江县期中）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，则下列结论；①∠C＝∠BFD；②∠BAD＝∠ABC；③BE⊥AC，其中正确的结论有（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵AD⊥BC，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠C＝∠BFD，BD＝AD，∴∠BAD＝∠ABC，∵∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠C+∠DBF＝90°，∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC；故①②③正确．故选：D．2．（2020秋•西峰区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝　1.5　cm．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E＝∠ADC＝90°∴∠DAC+∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠DCA＝90°∴∠DAC＝∠BCE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），故答案为1.53．（2020春•思明区校级月考）如图，点E在AB上，EC是∠BED的角平分线，∠CEB＝∠B，∠DCA＝∠BCE．求证：CD＝CA．【解答】证明：∵∠CEB＝∠B，∴CE＝CB．∵EC平分∠BED，∴∠CED＝∠CEB，∴∠CED＝∠B．∵∠DCA＝∠BCE，∴∠DCE＝∠ACB．在△DCE和△ACB中， ∴△DCE≌△ACB（ASA）．∴CD＝CA．4．（2020秋•河西区期末）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．求证：∠BAD＝∠CAD．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．5．（2020秋•集贤县期末）如图，在△ABC与△CDE中，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝CE，BC＝DE．（1）求证：BD＝AB+DE．（2）求∠ACE的度数．【解答】证明：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠ACB＝∠CED，∵∠CED+∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．日期：2021/1/28 18:00:59；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626