初一数学北师大版春季班 第9讲 全等三角形--提高班 试卷

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第9讲  全等三角形知识点1 全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．【典例】例1 （2020秋•乐亭县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB，∴∠A＝∠C（180°﹣40°）＝70°，在△AEF和△CFD中，，∴△AEF≌△CFD（SAS），∴∠AFE＝∠CDF，∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，∴∠EFD＝∠C＝70°．故选：C．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．例2（2020秋•武汉月考）如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接EF，则BE+CF与EF的大小关系为（　　）A．BE+CF＜EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＞EF D．以上都有可能【解答】解：如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF．∵DE＝DT，DF⊥ET，∴EF＝TF，在△EDB和△TDC中，，∴△EDB≌△TDC（SAS），∴BE＝CT，∵CT+CF＞FT，∴BE+CF＞EF，故选：C．【方法总结】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例3 （2020秋•和平区期末）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：（1）△BDO≌△CEO；（2）∠1＝∠2．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO．在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）；（2）∵△BOD≌△COE，∴DO＝EO，在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴∠1＝∠2．【方法总结】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【随堂练习】1．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为　5　．【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，∵CD＝3，BD＝8，∴AD＝8，DF＝3，∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，故答案为：5． 2．（2020秋•卢龙县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　）A．3 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，∵EF＝2，∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，故选：B．3．（2020秋•朝阳县期末）如图，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P．（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD平分∠BAE．【解答】证明：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAE． 知识点2 角平分线与全等三角形角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，    【典例】例1 （2020秋•延边州期末）如图，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，AG＝16，AE＝8，若S△ADG＝64，则△DEF的面积为　16　．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵S△ADG＝64，∴AG×DH＝64，∴DH8，∵AD是△ABC的平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∵DF＝DH＝8，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴EF＝HG，同理可得Rt△ADF≌Rt△ADH，∴AF＝AH，∵EF＝AF﹣AE＝AH﹣AE＝AG﹣HG﹣AE＝16﹣EF﹣8，∴EF＝4，∴S△DEFEF×DF4×8＝16．故答案为16．【方法总结】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．例2 （2020秋•长春期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为　18　．【解答】定理证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，在△OEP和△ODP中，∵，∴△OEP≌△ODP（AAS），∴PE＝PD； 定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴EO＝DO，OF＝DO，∵OD＝3，∴EO＝FO＝3，∵△ABC的周长是12，∴AB+BC+AC＝12，∴△ABC的面积：AB•EOAC•FOCB•DO（AB+AC+BC）12＝18，故答案为：18．【方法总结】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．【随堂练习】1．（2020秋•天宁区校级期中）如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，AD和BE相交于点F．（1）连结DE，求∠CDE的度数；（2）求证：AF＝2DB．【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴DE为直角△BCE的斜边上的中线，∴DC＝DE，∴∠C＝∠DEC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠CDE＝∠BAC＝45°；（2）证明：∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AE＝BE，∵∠EAF+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，而BD＝CD，∴AF＝2BD．2．（2020秋•句容市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，E是BD延长线上的一点，且AE＝AC．（1）求证：AE∥BC；（2）若AD＝DC＝2，求BC的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠EBC，∴AE∥BC；（2）解：在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，∵AE＝AC＝AD+DC＝2+2＝4，∴BC＝AE＝4．  综合运用1．（2020秋•连江县期中）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，则下列结论；①∠C＝∠BFD；②∠BAD＝∠ABC；③BE⊥AC，其中正确的结论有（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵AD⊥BC，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠C＝∠BFD，BD＝AD，∴∠BAD＝∠ABC，∵∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠C+∠DBF＝90°，∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC；故①②③正确．故选：D．2．（2020秋•西峰区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝　1.5　cm．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E＝∠ADC＝90°∴∠DAC+∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠DCA＝90°∴∠DAC＝∠BCE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），故答案为1.53．（2020春•思明区校级月考）如图，点E在AB上，EC是∠BED的角平分线，∠CEB＝∠B，∠DCA＝∠BCE．求证：CD＝CA．【解答】证明：∵∠CEB＝∠B，∴CE＝CB．∵EC平分∠BED，∴∠CED＝∠CEB，∴∠CED＝∠B．∵∠DCA＝∠BCE，∴∠DCE＝∠ACB．在△DCE和△ACB中， ∴△DCE≌△ACB（ASA）．∴CD＝CA．4．（2020秋•河西区期末）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．求证：∠BAD＝∠CAD．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．5．（2020秋•集贤县期末）如图，在△ABC与△CDE中，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝CE，BC＝DE．（1）求证：BD＝AB+DE．（2）求∠ACE的度数．【解答】证明：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠ACB＝∠CED，∵∠CED+∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．日期：2021/1/28 18:00:59；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626