专题13 导数及其应用-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

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专题13 导数及其应用1．（2022·天津·模拟）已知函数的图象如图所示，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的图象知：和是的根，即，解得，所以，可得，又由结合图象可得是函数的极值点，即是的两个根，即是的两个实数根，所以.故选：C.2．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（        ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】.①：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；②：因为，所以的图像关于点对称，因此本选项描述正确；③：令，函数在同一直角坐标系内的图像如下图所示：可知两个函数的图像有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；④：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，故选：C．3．（2022·江苏无锡·模拟）已知，则，，的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函数，当时，求导得：，则函数在上单调递减，又，，，显然，则有，所以.故选：C4．（2022·湖北·模拟）若过点可作曲线三条切线，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点为，由，故切线方程为，因为在切线上，所以代入切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，则或，所以当，时，，为增函数，当时，，为减函数，且时，，时，，所以只需，解得故选：A5．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（       ）A．4 B．8 C． D．【答案】D【解析】设，，，，则，则有和，代入，解得：，令和，导函数，即可得的最大值在时取得，此时，求得此时，故选：D.6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】设则所以设,令,得易知函数在单调递减所以,即,即,所以对,所以B错,所以C错,所以错故选：A7．（2022·江西省丰城中学模拟（理））某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）个.（1）函数的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数的值，恒有成立；（3）函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于（1）：∵函数的定义域为，，∴为偶函数，图象关于轴对称，故（1）正确.对于（2）：由（1）知为偶函数，当时，∴令，∵，∴，所以在上单调递增，∴，即恒成立.故（2）正确.对于（3）：函数的图象与轴的交点坐标为，交点与的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故（3）错误.对于（4）：，，当，时，，，每段区间的长度为，所以对任意常数，存在常数，，，使在上单调递减且，故（4）正确.故选：C.8．（2022·辽宁·鞍山一中模拟）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题设，，令，则恒成立，令，则，，当时，递减；当时，递增；所以，故递增，当，即时，，不合题意；当，即时，要使恒成立，则恒成立，令且，则，，当时，递减；当时，递增；所以，故在上递增，而，此时时，即恒成立.综上，的取值范围为.故选：A9．（2022·江苏省木渎高级中学模拟）（多选题）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（       ）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线斜率为【答案】AD【解析】由函数图象知，，周期满足：，即，则，由得：，即，而，则，于是得，，，，A正确；由得函数图象的对称轴方程，B不正确；，由得，则，，，当时，，C不正确；，显然，即函数的图象在点处切线斜率为，D正确.故选：AD10．（2022·福建省福州第一中学三模）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．为偶函数 B．有且仅有两个零点C．既无最大值，也无最小值 D．若且，则【答案】BCD【解析】解：因为定义域为，又，所以既不是奇函数也不是偶函数，所以A选项错误．当时，，即恒成立，所以在为减函数．又因为，所以在上只有一个零点．当时，，即恒成立，所以在上为减函数．又因为，所以在上只有一个零点，即B，C选项正确．当时，若，，由，可得，因为在上单调递减，所以，即，同理可证当，时，结论也成立，故D正确．故选：BCD．11．（2022·福建省德化第一中学模拟）（多选题）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点【答案】BD【解析】对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.故选：BD.12．（2022·山东潍坊·模拟）（多选题）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（       ）A．P1、P2两点的横坐标之积为定值B．直线P1P2的斜率为定值C．线段AB的长度为定值D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]【答案】ABC【解析】因为，所以，当时，；当时，，不妨设点，的横坐标分别为，且，若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.所以或，则，，由题意可得，可得，若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；对于选项B，易知点，，所以，直线的斜率为，选项B对；对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，直线的方程为，令可得，即点，所以，，选项C对；对于选项D，联立可得，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，所以，，选项D错.故选：ABC.13．（2022·北京·北大附中三模）对于函数和，给出下列四个结论：①设的定义域为，的定义域为，则是的真子集.②函数的图像在处的切线斜率为0.③函数的单调减区间是，.④函数的图像关于点对称.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】对于①，由题意得，函数的定义域，函数的定义域.所以是的真子集，则①正确.对于②，，则在处的切线斜率，则②错误.对于③，的定义域是，而函数在区间，上都是单调递减且值为正，又因为函数在其定义域上单调递增，因此复合后得到的在这两个区间上也是单调递减，则③正确.④只需验证：当时，，则④正确.故答案为：①③④.14．（2022·湖北省仙桃中学模拟）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______________     .【答案】【解析】不等式可化为： ，即.记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即.记，则.因为，所以只需在上递增，所以，只需恒成立.因为在单调递减，所以当时，最大，所以.即实数的取值范围为.故答案为：.15．（2022·江苏·盐城中学模拟）设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，函数，因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分，又因为命题成立，即时，恒成立，当直线与圆相切时，可得设，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，可得的最小值为，所以的最大值为，所以的最小值为，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.16．（2022·吉林吉林·模拟（文））已知函数，函数，则函数的极小值点为______；若，恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】     【解析】因为定义域为，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为，且，即，因为，即，其中，，构造函数，当时，，则，故函数在上为增函数，所以，对任意的恒成立，所以，.故答案为：；.