第23练 空间点、直线、平面之间的位置关系-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

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专题07  立体几何初步 第23练 空间点、直线、平面之间的位置关系1．（2022·上海长宁·二模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（       ）．A．直线  B．直线 C．直线  D．直线．【答案】A【解析】如图，易知，所以，且，所以为梯形，故与EF相交，A正确；因为，所以，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A2．（2022·江苏常州·模拟）已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（       ）A．不可能平行，也不可能垂直 B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行 D．可能平行，也可能垂直【答案】D【解析】如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和垂直；如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和平行；综上，m，n在平面内的射影可能平行，也可能垂直.故选：D.3．（2022·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（       ）A．，与是共面直线 B．，与是共面直线C．，与是异而直线 D．，与是异面直线【答案】D【解析】解：由题意，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，是的中点，是的中点，所以平面ABC,与平面ABC相交，且与AC无交点，所以与是异面直线；又，所以.故选：D.4．（2022·北京·101中学模拟）在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据各选项图形知：A中AB⊥CD；B中和的夹角为；C中和的夹角为；D中和的夹角为；故选：A5．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学三模（文））在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.【答案】【解析】如图，连接AD1，CD1，则∠D1AC(或其补角)就是异面直线AC和BC1所成的角，易知AC＝5，AD1＝，CD1＝，由余弦定理得cos ∠D1AC＝＝.故答案为：6．（2022·山东济南·二模）下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．其中正确命题的序号为______．【答案】①②③【解析】①，根据平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线平行.所以①正确，②，根据线面平行的判定定理可知：如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行，所以②正确.③，结合面面平行的判定定理可知：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.所以③正确.④，如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线可能在这个平面内，所以④错误.⑤，如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，直线时，，但与不垂直.所以⑤错误.故答案为：①②③1．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（       ）．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】如图，分别取的中点、、，连接，由正方体性质，所以平面，且，又交于同一点，所以平面，所以点、、确定的平面即为六边形故选：D．2．（2022·山东潍坊·模拟）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（       ）A．对 B．对 C．对 D．对【答案】B【解析】作出正方体的图形如下图所示：则与、与、与是异面直线，共对.故选：B.3．（2022·北京·北大附中三模）已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】选项A正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；选项B错误，平面和也可以相交；选项C错误，直线可能在平面内；选项D错误，直线和还可能相交或者异面.故选：A.4．（2022·浙江省杭州学军中学模拟）已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】若为中点，连接，又是棱中点，所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，所以，则直线与直线所成角即为，若，则，，所以.故选：C5．（2022·北京东城·三模）如图，在正方体中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线相交的是（       ）A．直线  B．直线  C．直线  D．直线 【答案】A【解析】连接，则，由，可得四边形为平行四边形，∴，，所以，即四边形为梯形，故直线与直线相交，直线与直线为异面直线，直线与直线为异面直线，直线与直线为异面直线.故选：A.6．（2022·辽宁·沈阳二中模拟）如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.【答案】②④【解析】解：根据题意，在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；图④中，、、共面，但面，与异面．所以图②④中与异面．故答案为：②④.7．（2022·海南·孟津县常袋乡石碑凹中学模拟）如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，则异面直线与AC所成角的余弦值是__________________．【答案】【解析】解：连结，∵AC∥，∴是异面直线与AC所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，∴，，，，∴∴异面直线与AC所成角的余弦值为．故答案为：．8．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟（文））已知正三棱柱的所有棱长均相等，直线与所成的角为，则______【答案】【解析】设分别为中点，连接，，，直线与所成角为的补角，即；设正三棱柱的棱长为，，，，，，，则，又，.故答案为：.1．（2022·山东聊城·二模）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】设底面圆的半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以，即，因为直线与直线所成角的范围为，所以当直线与底面圆相切时，直线与母线所成角最大为，则该直线与母线所成的角的余弦值的最小值为；当直线过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线与母线所成角最小，则该直线与母线所成的角的余弦值的最大值为，即该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为.故选：A2．（2022·浙江省义乌中学模拟）直线平面，直线平面，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线平面，直线平面，若，则、平行、相交或重合，即“”“”；若，则直线平面，设过直线的平面与平面相交，交线为，因为直线平面，直线平面，平面平面直线，所以，直线直线，因为直线平面，直线平面，所以，直线直线，故直线直线，即“”“”.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．（2022·福建莆田·模拟）莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由题设，在0、6点时相邻钟面上的时针都平行，即夹角为0度；在3、9点时相邻钟面上的时针垂直，即夹角为90度，所以相邻钟面上的时针，在、、、点之间各有一次成60°角的情况，故共有4次成60°角.故选：B4．（2022·重庆南开中学模拟）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．则异面直线，所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成的角，由已知，，，所以，所以异面直线，所成角的余弦值为故选：C．5．（2022·广东·模拟）已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（       ）A．存在平面，使得且B．存在平面，使得且C．存在平面，使得D．存在平面，使得【答案】ABD【解析】如下图，可知A、B、D都正确，而满足C的平面不存在.故选：ABD.6．（2022·广东·模拟）如图，在正三棱柱中，，，则下列结论正确的是（       ）A．不存在，使得异面直线与垂直B．当时，异面直线和所成角的余弦值为C．若，当时，三棱锥的外接球的表面积为D．过且与直线和直线所成角都是的直线有两条【答案】ABC【解析】对于A，假设存在满足题意，使得，又，，所以平面，所以，这与是正三角形矛盾，所以假设不成立，故A正确；对于B，当时，，如图1，取靠近点的三等分点，连接，，易得，所以四边形是平行四边形，则，所以或其补角即为异面直线和所成的角，设，则，，在中，由余弦定理得，故B正确；对于C，，当时，结合正弦定理可得得外接圆的半径，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球球心为，半径为，如图2，易知，，所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D，在平面和平面内，过点分别作直线和直线的平行线和，由异而直线所成的角的定义知：过的直线与直线和直线所成角与过的直线与直线和所成角相等，如图3，过作；如图4，过作，使得；如图5，过作，使得，共三条，故D错误.故选：ABC．7．（2022·山东威海·三模）已知是两个不同的平面，m、n是平面及外两条不同的直线，给出四个论断：①，②，③，④，则正确的是(       )A．②③④① B．①③④② C．①②④③ D．①②③④【答案】AC【解析】对于A，若，，则m⊥β，又∵，∴m⊥n，故A正确；对于B，若，，则n∥α，有∵，∴α与β平行或相交，故B错误；对于C，若，，则m⊥β，又∵，nβ，∴n∥β，故C正确；对于D，若，，则n∥α，又∵，则m与α平行或相交，故D错误．故选：AC．8．（2022·湖北·模拟）已知四面体中，，，，直线AB与CD所成角为，则下列说法正确的是（       ）A．AD的取值可能为 B．AD与BC所成角余弦值一定为C．四面体ABCD体积一定为 D．四面体ABCD的外接球的半径可能为【答案】ACD【解析】由题可知，，，则可将四面体ABCD的四个顶点放入如下图所示的直三棱柱中，考虑到直线AB与CD所成角为，故有如下两种情况：对于左图，，则，；此时AD与BC所成角余弦值为；所以选项A正确；因为，所以；分别取三棱柱上下底面三角形的外心G，H，连接GH，则线段GH的中点O即为三棱柱外接球球心，也即为四面体ABCD的外接球心，故四面体ABCD的外接球半径．对于右图，，则，；此时AD与BC所成角余弦值为，所以选项B错误；因为，所以，所以选项C正确；同上可得四面体ABCD的外接球半径．所以选项D正确.故选：ACD．9．（2022·山东日照·二模）在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________.【答案】【解析】延长DA，交于点N，连接NQ交AB于点E，则线段EQ为平面与平面ABCD的公共点M的集合，当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时，设此时E点运动到F点，则梯形FADC即为点M构成的区域，因为∽，所以，所以，所以.故答案为：.10．（2022·福建莆田·三模）在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．【答案】【解析】如图连接，取中点为点,连接，，且四边形为平行四边形 同理异面直线与所成角即为直线与所成角设正方体的棱长为，则，，   在中，               故答案为： .