第44练 离散型随机变量-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

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专题14 计数原理、随机变量及其分布第44练 离散型随机变量 1．（2022·湖南怀化·一模）已知的分布列如下表：012P？!？其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设“？”处的数据为则“!”处数据为 ,则,故,故选:C2．（2022·四川·成都七中三模（理））一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示：01P所以有,，随机变量的分布列如下图所示：01P，，因为，所以，因此有，故本题选D.3．（2022·湖南·模拟）第24届冬季奥林四克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X，则下列结论正确的是（       ）A．甲与乙相互独立 B．甲与乙互斥C． D．【答案】D【解析】解：由题意得：对于选项A：事件甲发生与否影响事件乙的发生，故事件甲与乙不相互独立，故A错误；对于选项B：事件甲事件乙可能同时发生，故B错误；对于选项C，D：由条件知随机变量X服从超几何分布，且，故C错误，D正确．故选：D．4．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟）设，随机变量的分布列为X012Pb则当在内增大时（       ）A．增大 B．减小 C． 先减小后增大 D．先增大后减小【答案】A【解析】根据随机变量分布列的性质可知，，，因为，所以单调递增，故选：A5．（2022·浙江·绍兴一中模拟）已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（       ）A．都与m有关 B．与m有关，与m无关C．与m无关，与m有关 D．都与m无关【答案】C【解析】由题可知：，，故，==．故选：C．6．（2022·河北·石家庄二中模拟）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（       ）A．8 B． C． D．16【答案】D【解析】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故： 又因为 根据方差的性质可得： 故选：D7．（2022·云南·一模（理））在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.【答案】20【解析】，.故答案为：8．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟（理））已知随机变量X的分布列为：X1234Pp其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________．【答案】【解析】由题意得，，令，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，即当时取得最小值.故答案为：.9．（2022·浙江省杭州学军中学模拟）袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）【答案】【解析】解：由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，，，，，，所以的数学期望，故答案为：.10．（2022·江苏常州·模拟）设随机变量的分布列如下：12345678910P且数列满足，则______________．【答案】5.5【解析】解：令，2，3，，，则，即，，2，3，，，又，所以，所以故答案为：1．（2022·河南·模拟（理））小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（       ）A．176 B．182 C．184 D．186【答案】B【解析】依题意可得X的可能值为200，180，160.，，，X的分布列为2001801600.40.30.3所以.故选：B.2．（2022·浙江温州·三模）已知随机变量X，Y的分布列如下：X10 Y2P0.50.5P0.50.5则（       ）A．  B． C．  D．【答案】D【解析】，，，，，.故选：D.3．（2022·内蒙古包头·二模（理））设，随机变量的分布列如下表：012P当a在内增大时，则（       ）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】A【解析】由题意，，所以，所以在上随增大而减小．故选：A4．（2022·浙江省临安中学模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，2，若，，则（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，2．，，，的分布列为：  1 2   ，，，的分布列为：  1 2 3    ，．，．故选：．5．（2022·江苏·南京师大附中模拟）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以故选：D6．（2022·湖北省仙桃中学模拟）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知的可能取值为：、，则，，因此，.故选：D.7．（2022·浙江·模拟）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．【答案】【解析】解：由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，则，．所以X的分布列为：X012345P所以X的数学期望为：．故答案为：．8．（2022·山东·模拟）射击运动是用枪支对准目标打靶的竞技项目，该项目在世界上居于领先地位的国家有中国､美国､匈牙利､俄罗斯和德国射击运动可以培养细致､沉着､坚毅等优良品质，有益于身心健康.已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹，假设某人每次打靶的命中率均为0.8，靶场规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记标靶上的子弹数量为随机变量X，则X的数学期望为___________.【答案】【解析】解：由题意的所有可能取值为：.因为每次打靶的命中率均为0.8，则，所以X的分布列为012……所以的数学期望为，令，①则，②所以①②可得：，则；故答案为：9．（2022·重庆市育才中学模拟）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．【答案】【解析】由题意知：，2，3，，，，∴的分布列为：123∴，，∴.故答案为：.10．（2022·浙江·模拟）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.【答案】【解析】由题意知：大楼共层，设随机变量，则，，，则的分布列如下：，.故答案为：.1．（2022·浙江绍兴·模拟）已知随机变量和的分布列如下图．12341234则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得：，;,,故，故选：D2．（2022·陕西西安·三模（理））林老师等概率地从中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从中抽取一个数字，记为Y，已知，其中（，）是的概率，其中，则（       ）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】依题意，，，，，，，，，，，，所以.故选：C3．（2022·云南·二模（理））某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：X的取值为0，1，2，，，，故.故选：C.4．（2022·湖南岳阳·一模）（多选题）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】解：依题意，所以，   .所以，   ，   所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB5．（2022·山东·模拟）（多选题）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：X012Pmnm则下列结论一定成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】解：由分布列的性质得，，，当，时，，故选项A错误；因为，故选项B正确；因为m，n均为正数，所以，即，当且仅当时，等号成立，故选项C正确；由，得.又，所以，故选项D正确.故选：BCD.6．（2022·浙江湖州·模拟）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．【答案】          【解析】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，由题意，的可能值为，则，，，所以.故答案为：，.7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟）天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题，且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题，学生甲答对的概率分别为，，，则学生甲恰好答对1个问题的概率为__________；在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学期望为__________.【答案】          【解析】设事件甲答对第个问题为，，由已知可得，，，事件学生甲恰好答对1个问题可以表示为，又互斥，且，，两两相互独立，所以 ，学生甲恰好答对1个问题的概率为，由题意，随机变量的可能取值分别为：；所以，，，，因此，.故答案为：；.8．（2022·浙江温州·二模）袋子装有1个红球，2个白球，3个黑球，现从该袋子中任取（无放回，且每球取到的机会均等）两个球，取出一个红球得3分，取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.记随机变量为取出此两球所得分数之和，则_________，_________分.【答案】          【解析】解：根据题意可知随机变量可取，，，，，所以（分）.故答案为：；.