中考几何模型压轴题 专题4《图形的分割与拼接》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题4《图形的分割与拼接》

破解策略

把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割；反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接．通常，我们会将一个或多个图形先分割，再拼接成一种指定的图形．

常见的图形的分割与拼接有：

1．三角形分割成两个等腰三角形

（1）已知：Rt△ABC，∠BAC＝90°．

作法：取斜边BC的中点D，连结AD．

结论：△DAB和△DAC是等腰三角形．

（2）已知：△ABC，∠BAC≥∠B，∠C＝2∠B．

作法：在边BC上作一点D，使得点D在AB的垂直平分线上，连结AD．

结论：△DAB和△DAC是等腰三角形．

（3）已知：△ABC，∠ACB＝3∠B．

作法：在边AB上作一点D，使得点D在BC的垂直平分线上，连结CD．

结论：△DBC和△CAD是等腰三角形．

2．三角形分割成多个等腰三角形

（1）已知：任意等腰△ABC，AB＝AC．

①作法：一条垂线＋两条斜边中线．

结论：△EAD，△FAD，△EBD，△FCD均为等腰三角形．

②作法：一条角平分线＋两条平行线．

结论：△AFD，△FBD，△EBD，△DEC均为等腰三角形．

③作法：两条角平分线＋一条平行线．

结论：△AEF，△EBD，△FCD，△DBC均为等腰三角形．

 （2）已知：等腰△ABC，∠B＝∠C＝36°．

作法：在BC上取两点D，E，使得其分别在AB，AC的垂直平分线上，连结AD，AE．

结论：△DAB，△ADE，△EAC均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．

（3）已知：等腰△ABC，AB＝AC，∠A＝36°．

作法：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D．

结论：△DAB，△BCD均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．

 （4）已知：任意△ABC．

作法：一条垂线＋两条斜边中线．

结论：△EAD，△FAD，△EBD，△FCD均为等腰三角形．

3．三角形的剪拼

（1）剪拼成直角三角形．

作法：取AB，AC的中点D，E；过D作BC的垂线，垂足为点F；过点A作BC的平行线，分别交直线DF，EF于点G，H．

结论：△FGH为直角三角形．

（2）剪拼成等腰三角形．

作法：取AB、AC的中点D、E，连结DE的垂直平分线FG交BC于点G;过点A作BC的平分线，分别交直线GD、GE于点H、I

结论：△GHI为等腰三角形

（3）剪拼成平行四边形．

作法：取BC、AC的中点D、E，分别过点A作BC的平行线，交直线DE于点F．

结论：四边形ABDF为平行四边形．

（4） 剪拼成矩形．

①作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足为F、G．过点A作BC的平行线，分别交直线FD、GE于点H、I．

结论：四边形HFGI为矩形．

②作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点B、C作直线DE的垂线，垂足为F、G．

结论：四边形FBCG为矩形．

③作法：取BC、AC的中点D、E，过点A作BC的平行线，交直线DE于点F;分别过点A、F作BC的垂线，垂足为G、H

结论：四边形AGHF为矩形（先将△ABC剪拼成平行四边形ABDF，再将平行四边形剪拼成矩形AGHF）

（5）剪拼成正方形（三角形一边上的高是该边长的一半）．

①作法：取BC、AC的中点D、E，过点A作BC的平行线，交直线DE于点F，分别过A、F作BC的垂线，垂足为G、H．

结论：四边形AGHF为正方形．

②作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足为F、G;过点A作BC的平行线，分别交直线FD、GE于点H、I

结论：四边形HFGI为正方形

（6）剪拼成等腰梯形．

作法：作AD＝AB交BC于点D，取AC的中点E，过点E作AD的平行线，交BC于点F，过点A作BC的平行线，交直线FE于点G．

结论：四边形AGFB为等腰梯形．

4．矩形的剪拼

（1）剪拼成直角三角形

作法：取AD中点E，连结CE并延长，交直线AB于点F．

结论：△FBC是直角三角形．

（2）剪拼成等腰三角形

①作法：延长CD至点E，使得DE＝CD，连结AC、AE．

结论：△ACE为等腰三角形，其中AC＝AE

②作法：取AB、CD、AD的中点E、F、G，连结GE、GF并延长，分别交直线BC于点H、I

结论：△GHI为等腰三角形，其中GH＝GI

③作法：取AD的中点E，向矩形外作AD的垂线EF，使得EF＝AB，连结FB、FC

结论：△FBC为等腰三角形，其中FB＝FC

④作法：取BC、CD、AD的中点E、F、G，连结FE、FG并延长，分别交直线AB于H、L

结论：△FHI为等腰三角形，其中FH＝FI

（3）剪拼成菱形．

作法：取BC的中点E，向矩形外作BC的垂线EG，使得EG＝AB，取AD的中点F，连结BG、GC、CF、FB．

结论：四边形BGCF为菱形

（4）剪拼成正方形

作法：延长CB至点E，使得BE＝AB，以EC为直径作圆，交BA的延长线于点F;在BC上取一点G，使得BG＝BF，过点F作BF的垂线，过点G作BG的垂线，两线交于点H

结论：四边形BGHF为正方形

5．正方形的剪拼

（1）两个正方形剪拼成一个正方形

作法：连结AE，过点A作AI丄AE交CB的延长线于点I;分别以E，I;为圆心AE长为半径画弧，交于点H，连结HI、HE．

结论：四边形AEHI为正方形

（2）一个正方形剪拼成两个正方形

作法：以B为端点在正方形ABCD内部作射线，分别过A、C、D作射线的垂线，垂足分别为E、F、G，再分别过点A、C作DG的垂线，垂足分别为H、I

结论：四边形AEGH和四边形CFGI为正方形．

进阶训练

1.     在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝63°，如图1，取三边中点，可以把△ABC分割成四个等腰三角形，请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）

答案：

2.     小明在研究四边形的相关性质时发现，在不改变面积的条件下，一般梯形很难转化为菱形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形，如图1，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝2AD，∠C＝60°．

（1）果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试在图1中画出变化后的图形；

（2）在完成上述任务后，他又试着在直角梯形（如图2，AD∥BC，CD＝2AD，∠C＝60°）中，将梯形分成几块，拼成新的图形；

①它能拼成一个菱形吗？如果能，请画出相应的图形；

②它能拼成一个正方形吗？如果能，请画出相应的图形．

答案：（1）能拼成菱形：

（2）能拼成菱形：

能拼成正五边形

3．下列网格中的六边形ABCDEF是由一个边长为6的正方形剪去左上角一个边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．

（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；

（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①，②，③三个部分，请在图甲中画出将②，③与①拼成的正方形，然后标出②，③变动后的位置；

（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条剪裁线，并画出将此六边形剪拼成的正方形．

                 图甲                                        图乙

答：（1）；

（2）如图；

（3）如图：