中考几何模型压轴题 专题5《等分图形面积》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题5《等分图形面积》

破解策略

等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：

如图，，点在上，点B，C在上，则．

图形等分面积的常见类型有：

（1）已知：△ABC．

作法：作中线AD．

   结论：直线AD平分△ABC的面积．

（2）已知：平行四边形ABCD．

作法：过对角线交点O作直线．

   结论：过点O的直线平分平行四边形ABCD的面积．

（3）已知：梯形ABCD，AD∥BC．

作法：过中位线EF中点O（或上、下底边中点连线HG的中点O）作直线，且与上、下底均相交．

结论：过点O且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD的面积．

（4）已知：△ABC，P为AC边上的定点．

作法：作△ABC的中线AD，连结PD，过点A作AE∥PD，交BC于点E．

结论：直线PE平分△ABC面积．

（5）已知：四边形ABCD．

作法：连结AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，连结AE，作△ABE的中线AF．

   结论：直线AF平分平行四边形ABCD的面积．

（6）已知：四边形ABCD，点P为AD上的定点．

作法：连结PB，PC．作AE∥PB，DF∥PC，分别交直线BC于点E，F，连结PE，PF，作△PEF的中线PG．

   结论：直线PG平分四边形ABCD的面积．

（7）已知：五边形ABCDE．

作法：连结AC，AD，作BF∥AC，EG∥AD，分别交直线CD于点F，G，连结AF，AG，作△AFG的中线AH．

结论：直线AH平分五边形ABCDE的面积．

进阶训练

1．如图，已知五边形ABOCD各定点坐标为A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2），请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．

答：如图：

直线的表达式为．

【提示】 连结AO，作BM∥AO交x轴于点M，连结AC，作DN∥AC交x轴于点N，取MN中点F，则直线AF将五边形ABOCD分为面积相等的两部分．作AH⊥x轴于点H，则△BMO∽△AOH，可得点M的坐标．同理可得点N的坐标．从而求得点F的坐标．确定直线AF的表达式．

2．过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1：2的两部分．

答：如图：

【提示】 连结AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，取BE的一个三等分点F或G，则直线AF或AG即为所求．

3．设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w的“化方”．

（1）阅读填空

如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．

理由：连结AH，EH．

因为AE为直径，所以∠AHE＝90°，

所以∠HAE＋∠HEA＝90°．

因为DH⊥AE，所以∠ADH＝∠EDH＝90°．

所以∠AHD＝∠HED，所以△ADH∽          ．

所以，即

因为DE＝DC，

所以＝         ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积

（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图2，请作出与平行四边形ABCD等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）．

（3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的         （填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图3，△ABC的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．

3．（1）△HDE；AD·DC；

（2）作图如下：

（3）矩形；作图如下：

（4）作图如下：

【提示】（2）作法：①分别过点A，D作直线BC的垂线，垂足分别为；

②延长AD至点E，使得；

③以AE为直径作半圆；

④延长交半圆于点H；

⑤以DH为边向右作正方形DFGH．

则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．

（3）作法：

①作△ABC的中位线MN；

②分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D；

③延长BC至点F，使得CF＝CD；

④以BF为直径作半圆；

⑤延长DC交半圆于点G；

⑥以CG为边向右作正方形CGHI．

则正方形CGHI与△ABC等积．

（4）作法：

①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；

②作△EBC的中位线MN；

③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；

④延长BC至点H使得CH＝CG；

⑤以BH为直径作半圆；

⑥延长GC交半圆于点I；

⑦以CI为边向右作正方形CIJK．

则正方形CIJK与四边形ABCD等积．

（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．

如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形 ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈）