搜索
    上传资料 赚现金
    英语朗读宝

    中考几何模型压轴题 专题14《共顶点模型》

    中考几何模型压轴题 专题14《共顶点模型》第1页
    中考几何模型压轴题 专题14《共顶点模型》第2页
    中考几何模型压轴题 专题14《共顶点模型》第3页
    还剩7页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    中考几何模型压轴题 专题14《共顶点模型》

    展开

    这是一份中考几何模型压轴题 专题14《共顶点模型》,共10页。
    高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提,学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练,获得知识、发展能力的一种教学模式。
    策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律,凸显方法规律,由简单到复杂,由特殊到一般,再由一般到特殊
    总结规律,推广一般。从一般到特殊:抛砖引玉,解决问题。
    策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型,体现思想方法,让学生驾轻就熟,化难为易,化繁为简。
    几何,常常因为图形变化多端,方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化,但万变不离其宗。
    专题14《共顶点模型》
    破解策略
    1.等边三角形共顶点
    等边△ABC与等边△DCE,B、C、E三点共线.
    连结BD、AE交于点F,BD交AC于点G,AE交DC于点H,连结CF、GH,则:
    (1)△BCD≌△ACE;
    (2)AE=BD;
    (3)∠AFB=∠DFE=60°;
    (4)FC平分∠BFE;
    (5)BF=AF+FC,EF=DF+FC;
    (6)△CGH为等边三角形.
    证明 (1)由已知条件可得,则△BCD≌△ACE.
    (2)由(1)得AE=BD;
    (3)由(1)得∠GAF=∠GBC,而∠AGF=∠BGC,所以∠DFE=∠AFB=∠ACB=60°.
    (4)方法一 如图1,过点C分别作BD、AE的垂线,垂足分别为M、N.
    由(1)知S△ACE=S△BCD,即BD·CM=AE·CN,所以CM=CN,故FC平分∠BFE.
    方法二 由∠CAF=∠CBF,可得A、B、C、F四点共圆,所以∠BFC=∠BAC=60°.
    同理可得∠CFE=∠CDE=60°.所以FC平分∠BFE.
    (5)如图2,作∠FCI=60°,交BD于点I,则△CFI为等边三角形.
    易证△BCI≌△ACF,所以BI=AF,IF=CI=FC.
    从而BF=BI+IF=AF+CF.同理可得EF=DF+FC.
    (6)易证△ACH≌△BCG(ASA) 可得CG=CH,而∠GCH=60°,所以△CGH为等边三角形.
    2.等腰直角三角形共顶点
    等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°.

    如图1,连结BD、AE交于点F,连结FC、AD、BE,则:
    (1)△BCD≌△ACE;
    (2)AE=BD;
    (3)AE⊥BD;
    (4)FC平分∠BFE;
    (5)AB2+DE2=AD2+BE2
    (6)BF=AF+FC,EF=DF+FC;
    (7)如图2,若G、I分别为BE、AD的中点,则GC⊥AD、IC⊥BE(反之亦然);
    (8)S△ACD=S△BCE
    证明(1)(2)(3)(4)证明见“等边三角形共顶点”;
    (5)因为AE⊥BD,由勾股定理可得AB2+DE2=(AF2+BF2)+(DF2+EF2),
    AD2+BE2=(AF2+DF2)+(BF2+EF2)
    所以AB2+DE2=AD2+BE2
    (6)如图3,过点C作CK⊥FC,交BD于点K,则△CFK为等腰直角三角形.
    易证△BCK≌△ACF,所以BK=AF.从而BF=BK+KF=AF+FC,
    同理可得EF=DF+FC.
    (7)①如图4,延长GC,交AD延长线于点H,延长CG至点K,使得GK=GC,连结BK.
    易证∠KBG=∠CEG,BK=EC=CD.
    由题意可得∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°,
    所以∠ACD=∠CBE+∠CEB=∠CBG+∠GBK=∠CBK.
    可得△ACD≌△CBK(SAS)
    则∠CAD=∠BCK,
    所以∠ACH+∠CAH=∠ACH+∠BCK=90°,故GC⊥AD.
    ②如图5,CJ⊥BE,延长JC交AD于点T,分别过点A,D作IJ的垂线,垂足分别为M、N.由已知可得△AMC≌△CJB;△DNC≌△CJE,
    所以AM=DN=CJ,故有△AMI≌△DNI,所以AI=DI,即可证.
    (8)在(7)中的证明过程中可得到S△ACD=S△BCE;也可以用下面的方法来证明
    如图6,过点D作DP⊥AC于点P,过点E作EQ⊥BC,交BC延长线于点Q.
    易证△DPC≌△EQC(AAS).所以DP=EQ,故DP·AC= EQ·BC,即S△ACD=S△BCE
    3.等腰三角形共顶点
    等腰△ACB与等腰△DCE中,AC=BC,DC=CE,且∠ACB=∠DCE.
    连结BD,AE交于点F,则:
    (1)△BCD≌△ACE;
    (2)AE=BD;
    (3)∠AFB=∠ACB;
    (4)FC平分∠BFE.
    4.相似三角形共顶点
    △ACB与△ECD中,,∠ACB=∠ECD.
    连结BD,AE交于点F,则:
    (1)△BCD∽△ACE;
    (2)∠AFB=∠ACB.
    证明(1)由已知可得
    所以△ACE∽△BCD.
    (2)由(1)可得∠CAF=∠CBF.
    设AC与BD的交点为G,则∠AGF=∠BGC,
    所以∠AFB=∠ACB.
    例题讲解
    例1 如图1,在△ABC中,BC=4,以线段AB为边作△ABD,使得AD=BD,连结DC,再以DC为边作△CDE,使得DC=DE,∠CDE=∠ADB=.
    (1)如图2,当∠CDE=45°且=90°时,用等式表示线段AD,DE之间的数量关系;
    (2)将线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF,连结BF,AF.
    ①若=90°,依题意补全图3,求线段AF的长;
    ②请直接写出线段AF的长(用含的式子表示)

    解 (1)AD+DE=4.
    (2)①如图4,连结AE交BC于点G,设DE与BC的交点为H.
    由“等腰直角三角形共顶点”可得
    △ADE≌△BDC(SAS)
    所以AE=BC,∠EGC=∠EDC=90°
    因为线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF.
    所以AE=BC=FE=4,AE⊥EF.
    所以AF=EF=.
    ②AF=8sin.
    如图5,连结AE交BC于点G.
    由“等腰直角三角形共顶点”可得FE=BC=AE
    ∠AEF=∠EGC=∠EDC=
    过点E作EH⊥AF于点H
    则∠AEH=∠AEF=
    所以AF=2AH=2AEsin=8sin.
    例2 如图1,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE绕A点顺时旋转一定角度,连结BD,CE,得到图2,然后将BD,CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,连结AM,AN,MN,得到图3.
    (1)若AB=AC,请探究下列数量关系;
    ①在图2中,BD与CE的数量关系是 ;
    ②在图3中,猜想AM与AN的数量关系,∠MAN与∠BAC的数量关系,丙证明你的猜
    想:
    (2)若AB=· AC(K>1),按上述操作方法,得到图4,请继续探究:AM与AN的数量关系;∠MAN与∠BAC的数量关系.


    解 (1)①BD=CE.
    ②AM=AN,∠MAN=∠BAC. 证明如下:
    由“等腰三角形共顶点”可得△CAE≌△BAD(SAS)
    所以CE=BD,∠ACN=∠ABM
    所以BM=CN
    从而△ABM≌△ACN(SAS)
    所以AM=AN,∠BAM=∠CAN
    即∠MAN=∠BAC.
    (2)AM=k AN,∠MAN=∠BAC. 证明如下:
    由“相似三角形共顶点”可得△CAE∽△BAD,
    所以,∠ACN=∠ABM
    所以
    从而△ABM∽△ACN
    所以AM=k AN,∠BAM=∠CAN
    即∠MAN=∠BAC.
    进阶训练
    1. 在平行四边形ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连结EF,EC,N、P分别为EC,BC的中点,连接诶NP.

    (1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探索线段NP与MN的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系;
    (2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立?写出你确定的点M的位置,并证明(1)中的结论.
    解 (1)NP=NM,∠ABD+∠MNP=180°
    M是线段EF的中点.
    【提示】(1)证DP⊥BC,DC⊥EF,根据直角三角形斜边中线定理可得NP=NM=CE,∠ABD+∠MNP=2∠PDC+2∠DCP=180°;或者连结BE,CF(如图),由“等腰三角形共顶点”可证得结论.
    如图,连结BE,CF,取EF中点G. 连结NG,由“等腰三角形共顶点”和中位线定理,即可得到点M与点G重合时(1)中结论仍成立.
    2. 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连结CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.


    2.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.
    (1)直接写出∠NDE的度数;
    (2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;
    (3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD= ,其他条件不变,求线段AM的长.
    解:(1)∠NDE=90°;
    (2)(1)中结论不变,证明略;
    (3).
    【提示】(2)由“共顶点模型”可得△ACM≌△BCN,所以∠BNC=∠AMC,从而得到∠MDN=∠MCN=90°.
    (3)由题意可得,∠BAE=30°,∠AMG=∠AGM =75°,而又(1)可得∠NDE=90°,所以AB=2BD=. 如图,过点G作GH⊥BC于点H,则CH=GH=BH,从而AG=BG,所以AG+AG=,解得AM=AG=.
    3. 如图,△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB,EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α,直线BF,CD交于点G,连结AG.现将图中△DEF绕点O旋转,请你确定AG取最小值和最大值时点G的位置.
    答案:以BC为直径作⊙H,直线交于点G1,G2,则G1为AG取最小值时点G的位置,G2为AG取最大值时点G的位置.
    【提示】 如图,连结CO,DO,构建两个相似的“直角三角形共顶点”,从而得到∠BGC=∠BOC=90°,从而点G在以BC为直径的圆上.

    相关试卷

    中考几何模型压轴题 专题19《中点模型》:

    这是一份中考几何模型压轴题 专题19《中点模型》,共10页。

    中考几何模型压轴题 专题18《弦图模型》:

    这是一份中考几何模型压轴题 专题18《弦图模型》,共8页。

    中考几何模型压轴题 专题13《“Y”形模型》:

    这是一份中考几何模型压轴题 专题13《“Y”形模型》,共7页。

    欢迎来到教习网
    • 900万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册
    qrcode
    二维码已过期
    刷新

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字、字母或符号

    注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    返回
    顶部
    Baidu
    map