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    中考几何模型压轴题 专题21《等腰三角形的存在性》

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    中考几何模型压轴题 专题21《等腰三角形的存在性》

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    这是一份中考几何模型压轴题 专题21《等腰三角形的存在性》,共10页。
    中考数学几何专项复习策略在九年级数学几何专题复习中,怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学,怎样采取得力的措施和高效的方法,大幅度、快节奏地提高学生的数学素养,让后进生吃的消,中等生吃的饱,优等生吃得好,使复习获得令人满意的效果?这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究,举例谈几何专题复习的几点策略策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教,当堂训练。高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提,学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练,获得知识、发展能力的一种教学模式。策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律,凸显方法规律,由简单到复杂,由特殊到一般,再由一般到特殊   总结规律,推广一般。从一般到特殊:抛砖引玉,解决问题。策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型,体现思想方法,让学生驾轻就熟,化难为易,化繁为简。几何,常常因为图形变化多端,方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化,但万变不离其宗。    专题21等腰三角形的存在性破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示:等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上,或以AB为圆心、AB长为半径的圆上(不与线段AB共线).解等腰三角形的存在性问题时,若没有明确指出等腰三角形的底或腰,就需要进行分类讨论.通常这类问题的解题策略有:(1)几何法:先分类讨论,再画出等腰三角形,后计算.如图2,若ABAC,过点AADBC,垂足为D,则BDCD,∠BAD=∠CAD,从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题.(2)代数法:先罗列三边长,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.有时候将几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好.例题讲解1  如图,正方形ABCD的边长是16,点EAB边上,AE=3,FBC边上不与BC重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′=       16或4①如图1,当CB′=CD时,点F与点C重合,不符合题意,舍去;②如图2,当DB′=CD时,DB′=16;③如图3,当DB′=BC时,过点BGHAD,交AB于点G,交CD于点H显然GH分别为ABCD的中点.由题意可得BE=13,DHBG=8,所以EG=5,从而BG=12,BH=4,所以DB′==4如图2所示:当DB′=CD时,则DB′=16(易知点FBC上且不与点CB重合).图2如图3所示:当BDBC时,过B′点作GHAD,则BGE=90°.图3BCBD时,AGDHDC=8.AE=3,AB=16,得BE=13.由翻折的性质,得BEBE=13.EGAGAE=83=5,BGBHGHBG=1612=4,DB′= 2  如图,在ABC中,ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为ts)(0<t<4),:如图,过点PPHACH
    ∵∠C=90°,ACBC
    PHBC
    ∴△APH∽△ABC

    AC=4cm,BC=3cm,
    AB=5cm,

    PH=3﹣tAHQHPQAPQ中,
    AQAP,即t=5﹣t时,解得:t1
    PQAQ,即t时,解得:t2t3=5;
    PQAP,即=5﹣t时,解得:t4=0,t5
    0<t<4,
    t3=5,t4=0不合题意,舍去,
    tsss时,APQ是等腰三角形.3  如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OAy轴的正半轴上,OCx轴的正半轴上,OA=1,OC=2,D在边OC上且OD(1)求直线AC的解析式;
    (2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得DMC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.:(1)设直线AC的解析式ykxb
    OA=1,OC=2,
    A(0,1),C(2,0)代入函数解析式求得:kb=1
    直线AC的函数解析式:y
    (2)若DC为底边,
    M的横坐标为
    则点M的坐标为(
    直线DM解析式为:y
    P(0,);
    DM为底,则CDCM
    AMAN
    N,1),
    可求得直线DM的解析式为y=(+2)x),
    P(0,))
    CM为底,则CDDM
    M的坐标为(
    直线DM的解析式为yx
    P的坐标为(0,综上所述,符合条件的点P的坐标为(0,),(0,)),(0,4  已知抛物线yx2mxn的对称轴为x2,且与x轴只有一个交点.
    (1)求mn的值;
    (2)把抛物线沿x轴翻折,再向右平移2个单位,向下平移1个单位,得到新的抛物线C,求新抛物线C的解析式;
    (3)已知Py轴上的一个动点,定点B的坐标为(0,1),问:在抛物线C上是否存在点D,使BPD为等边三角形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.:(1)抛物线的对称轴为x2,
    m4.
    抛物线与x轴只有一个交点,
    m24n=0.  从而n=4.   (2)原抛物线的表达式为y=-x24x-4=-(x+2)2    所以抛物线C的表达式为yx2-1.(3)假设点D存在,设点D的坐标为(dd21).    如图,作DHy轴于点H    DH2d2BH2=(d22)2    BPD是等边三角形,则有,即d2=3(d22)2    解得dd所以满足条件的点D存在,分别为D1,2),D2(-,2),D3),D4(-).    例5  如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2-3x8x轴交于AB两点,与y轴交于点C,直线l经过原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E(3,-4),连结CE,若Py轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,OPQ是等腰三角形.  由抛物线yx2-3x-8=x-8)(x+2) ,可得点ABC的坐标分别为(-2,0),(8,0)(0,-8).所以CE=5=OE所以OEC是顶角为钝角的等腰三角形,即OEC>90°OPQ曲等腰三角形有三种可能:POPQ时,即OPQ为顶角,显然POQCOE所以OPQOEC90°由题意可知这种可能性不存在;OPOQ时,则OPQOQP    如图1,过点EPQ的平行线,分别交x轴,y轴于点FG    OGEOPQOQPOEG    所以OGOE=5,即点G的坐标为(0,-5),    所以直线GE的表达式为yx5,    所以点F的坐标为(5,0).    所以,即QOQP时,则QPOQOPOCE,所以CEPQ如图2,设直线CEx轴交于点HCE两点的坐标可得直线CE的表达式为,yx8.所以点H的坐标为(6,0).    所以,即综上可得,当m的值为时,OPQ是等腰三角形.进阶训练1.如图,在RtABC中,ACB= 90°AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动,MN分别是ADCD的中点,连结MN,设点D运动的时间为t,若DMN是等腰三角形,求t的值.【答案】t5,6或时,DMN等腰三角形.2.设二次函数yx22axa<0)的图象顶点为A,与x轴的交点为B,C.(1)当ABC为等边三角形时,求a的值,(2)当ABC为等腰直角三角形时,求a的值.【答案】(1)a=-;(2)a=-3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2),E为线段AB上的一个动点(不与点AB重合),以E为顶点作OFT=45°,射线ET交线段OB于点FCy轴正半轴上一点,且OCAB.抛物线yx2mxn经过AC两点.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)求证:BEFAOE(3)当EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标.【答案】(1)y=-x2x(2)略;(3)点E的坐标为(-11),(,2).提示】(2)由BAOFEOABO45°即可证3)分类讨论:OEOF时,E与点A重合,不符合题意;EOEF时(如图1),易证AFO≌△BFE,从而BEAC=2,再过点EEH y轴,即可求得点E,2);FEFD时(如图2),此时BFEOFE均为等腰直角三角形,求得点E(-11).4.如图,抛物线yax26xcx轴交于点A(-5,0),B(-1,0),与y轴交于点CP是抛物线上的一个动点,连结PA,过点Py轴的平行线交直线AC于点D,请问:APD能否为等腰三角形?若能,求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】APD能为等腰三角形,点P的坐标为(-23),(-1,0),(,67),或(67).【提示】由点AB的坐标可得抛物线的表达式为yax26x-5.从而得到C0,-5).所以直线ACy=-x-5.可设点Pm,-m2-6m-5),则Dm,-m-5).    APD为等腰三角形有三种情况,由ADP=45°或135°.用代几结合解决问题.    APAD时,FAD=90°,得P(一2,3);    APPD时,APD=90°,得P1,0);    ADPD时,可列方程从而m,得P,67),或(67).  5.如图,抛物线yax2+2x-3与x轴交于AB两点,且点B的坐标为(1,0).直线yx分别与x轴,y轴交于CF两点.Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Qy轴的平行线,交直线CF干点D.点E在线段CD的延长线上,连结QE,问:以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.答案存在QD为腰的等腰QDE的面积最大值为【提示】有题意可得抛物线的解析式为yx2+2x-3,C,0),F(0,-),从而tanEDQ=tanOFC如图,作QGCE于点GDQtQGtDGtDQDEDE=2DG,从而QDE面积为SDE·QGt2显然t2t2所以DQEQS最大值.设Qxx2+2x-3),则tQD=-x2x可得t=3Smax

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