北师大版七年级下册2 幂的乘方与积的乘方课时训练

第1讲  幂的运算

知识点1 同底数幂的乘法

1．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

（m，n是正整数）

（2）推广：（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

【典例】

例1（2020春•广陵区校级期中）规定a*b＝2a×2b，求：

（1）求1*3；

（2）若2*（2x+1）＝64，求x的值．

【解答】解：（1）由题意得：1*3＝2×23＝16；

（2）∵2*（2x+1）＝64，

∴22×22x+1＝26，

∴22+2x+1＝26，

∴2x+3＝6，

∴x．

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

  例2（2020春•相城区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3

（1）根据上述规定，填空：

（3，27）＝　3　，（4，1）＝　0　（2，0.25）＝　﹣2　；

（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．

【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，

故答案为：3，0，﹣2；

（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，

∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，

∴3a×3b＝30，

∴3a×3b＝3c，

∴a+b＝c．

【方法总结】

本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•沙坪坝区校级月考）规定a*b＝2a×2b，若2*（x+1）＝16，则x＝　1　．

【解答】解：由题意得：

2*（x+1）＝22×2x+1＝16，

即22+x+1＝24，

∴2+x+1＝4，

解得x＝1．

故答案为：1．

2．（2020春•兴化市期中）我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．

（1）试求12☆3和4☆8的值；

（2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．

【解答】解：（1）12☆3＝1012×103＝1015；

4☆8＝104×108＝1012；

（2）相等，理由如下：

∵（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，

a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，

∴（a+b）☆c＝a☆（b+c）．

知识点2 幂的乘方与积的乘方

1．幂的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（am）n=amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

2．积的乘方

（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n=an•bn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

【典例】

例1（2020秋•郸城县期中）（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值；

（2）已知am＝2，an＝3，求a3m+2n的值．

【解答】解：（1）4x•32y＝22x•25y

＝22x+5y，

∵2x+5y﹣3＝0，

∴2x+5y＝3，

∴原式＝23＝8；

（2）a3m+2n

＝（am）3×（an）2

∵am＝2，an＝3，

∴原式＝23×32

＝8×9

＝72．

【方法总结】

此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确原式变形是解题关键．

例2（2020春•高新区期中）（1）已知4x＝2x+3，求x的值；

（2）若a2n＝3，，求（﹣ab）2n．

【解答】解：（1）∵4x＝22x＝2x+3，

∴2x＝x+3，

∴x＝3；

（2）∵a2n＝3，，

∴（﹣ab）2n＝（ab）2n＝a2n•b2n＝a2n•（bn）2．

【方法总结】

本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例3（2020春•张家港市校级期中）（1）已知m+2n＝4，求2m•4n的值．

（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．

【解答】解：（1）2m×4n

＝2m×22n

＝2m+2n

＝24

＝16．

（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2

＝43﹣2×42

＝32．

【方法总结】

本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•雅安期末）已知3x+5y﹣1＝0，求8x•32y的值．

【解答】解：原式＝23x•25y

＝23x+5y，

∵3x+5y﹣1＝0，

∴3x+5y＝1，

∴原式＝21＝2．

2．（2020春•高新区期末）已知2a＝4b（a、b是正整数）且a+2b＝8，求2a+4b的值．

【解答】解：∵2a＝4b＝22b，

∴a＝2b，

又∵a+2b＝8，

∴b＝2，a＝4，

∴2a+4b＝24+42＝32．

3．（2020春•通州区期末）计算：m7•m5+（﹣m3）4﹣（﹣2m4）3．

【解答】解：原式＝m12+m12﹣（﹣8m12）

＝m12+m12+8m12

＝10m12．

知识点3 同底数幂的除法

1．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

2．零指数幂

零指数幂：a0=1（a≠0）

由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）

注意：00无意义．

3．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

4.【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 

【典例】

例1（2020秋•东城区期末）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（　　）

A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米 

C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米

【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．

故选：C．

【方法总结】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

例2（2020•丰泽区校级模拟）如果a＝（﹣99）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c，那么a、b、c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a

【解答】解：a＝（﹣99）0＝1，

b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10，

c9，

所以c＞a＞b，

故选：B．

【方法总结】

本题考查零次幂、负整数指数幂的计算方法，掌握计算法则是正确计算的关键．

例3（2020•洪山区校级模拟）计算：（﹣2a）3+（a4）2÷（﹣a）5．

【解答】解：（﹣2a）3+（a4）2÷（﹣a）5

＝﹣8a3+a8÷（﹣a5）

＝﹣8a3﹣a3

＝﹣9a3．

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例4（2020春•秦淮区期末）计算：m4•m5+m10÷m﹣（m3）3．

【解答】解：原式＝m9+m9﹣m9

＝m9．

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例5（2020春•定边县期末）计算：．

【解答】解：原式＝3+1+33

＝3+1+27

＝31．

【方法总结】

此题主要考查了负整数指数幂的性质以及同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•西峰区期末）香包刺绣又称陇绣，是庆阳地区妇女的一项传统技艺．绣线多采用产地范围生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为10μm，蚕丝线的截面面积0.000 000 785cm2．其中数据0.000 000 785用科学记数法可表示为（　　）

A．7.85×106 B．7.85×10﹣6 C．7.85×10﹣7 D．7.85×107

【解答】解：0.000 000 785＝7.85×10﹣7．

故选：C．

2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（x﹣y）7÷（y﹣x）3•（y﹣x）4．

【解答】解：（x﹣y）7÷（y﹣x）3•（y﹣x）4＝﹣（y﹣x）7÷（y﹣x）3•（y﹣x）4＝﹣（y﹣x）7﹣3•（y﹣x）4＝﹣（y﹣x）8．

3．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知10x＝3，10y＝2．

（1）求102x+3y的值．

（2）求103x﹣4y的值．

【解答】解：（1）102x+3y＝102x•103y＝（10x）2•（10y）3＝9×8＝72；

（2）103x﹣4y＝103x÷104y＝（10x）3÷（10y）4＝27÷16．

4．（2020春•揭阳期中）计算：．

【解答】解：原式＝1+4﹣8+1

＝﹣2．

5．（2020春•顺义区期末）已知a是一个正数，比较（）﹣1，（）0，的大小．

【解答】解：∵a是正数，

∴（）﹣1＝a，（）0＝1

当0＜a＜1时，a＜1，即（）﹣1＜（）0

当a＝1时，a1，即（）﹣1＝（）0

当a＞1时，1＜a，即（）0＜（）﹣1

   综合运用

1．（2020秋•路南区期中）若2m•2n＝32，则m+n的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：∵2m•2n＝2m+n＝32＝25，

∴m+n＝5，

故选：B．

2．（2020春•兴化市期中）计算：．

【解答】解：原式＝1+3+1﹣2

＝3．

3．（2020春•太仓市期中）已知a6＝2b＝84，且a＜0，求|a﹣b|的值．

【解答】解：∵（±4）6＝2b＝84＝212，a＜0，

∴a＝﹣4，b＝12，

∴|a﹣b|＝|﹣4﹣12|＝16．

4．（2020•硚口区模拟）计算：a2a4﹣a8÷a2+（3a3）2．

【解答】解：原式＝a6﹣a6+9a6＝9a6

5．（2020•武昌区模拟）计算：（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x

【解答】解：原式＝4x4+x4﹣x4

＝4x4

6．（2020春•龙泉驿区期中）（1）已知am＝2，an＝3．求am+n的值；

（2）已知n为正整数，且x2n＝7．求7（x3n）2﹣3（x2）2n的值．

【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3．

∴am+n＝am•an＝2×3＝6；

（2）∵n为正整数，且x2n＝7，

∴7（x3n）2﹣3（x2）2n

＝7（x2n）3﹣3（x2n）2

＝7×73﹣3×72

＝74﹣3×49

＝2401﹣147

＝2254．

7．（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．

（1）计算下列各对数的值：log24＝　2　；log216＝　4　；log264＝　6　．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．

【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，

故答案为：2；4；6；

（2）∵4×16＝64，

∴log24+log216＝log264；

（3）logaM+logaN＝logaMN；

（4）设M＝am，N＝an，

∵m，n，

m+n，

∴，

∴logaMN．