初中北师大版1 两条直线的位置关系课后复习题

第5讲  相交线

知识点1 直线交点个数

1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少有1个交点．

【典例】

例1（2020春•禅城区期末）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是　　

A．4个 B．3个 C．6个 D．5个

【方法总结】

本题主要考查了直线相交时交点的情况，关键是画出图形．

【随堂练习】

1．（2020秋•淮北月考）下列说法正确的是　　

A．直线和直线是同一条直线 

B．直线是射线的2倍 

C．射线与射线是同一条射线 

D．三条直线两两相交，有三个交点

2．（2019秋•新化县期末）平面内两两相交的3条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于　　

A．4 B．5 C．6 D．以上都不对

知识点2 邻补角与对顶角

邻补角

1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2. 邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角

1. 对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2. 对顶角的性质：对顶角相等.

【典例】

例1 （2020秋•金牛区校级期中）如图，已知直线与相交于点，，，平分，求和．

【方法总结】

本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义．熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

例2 （2020秋•道外区期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【方法总结】

本题考查的是对顶角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．

【随堂练习】

 1．（2020春•来宾期末）图中，和是对顶角的是　　

A． B． 

C． D．

2．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于　　

A． B． C． D．

3．（2020秋•叙州区期末）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为________．

知识点3 垂线

垂线

1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2. 垂直的模型：

说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2. 垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

【典例】

例1 （2020春•孝义市期末）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是　　

A． B． 

C． D．

【方法总结】

此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

例2（2020春•桥西区校级期中）如图直线，相交于点，，垂足为点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【方法总结】

此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线定义．

例3 （2020春•太平区期末）关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线，也可以说成．其中正确的有________（填序号）．

【方法总结】

此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

例4（2020春•沙河口区期末）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田处，并要求所挖的渠道最短．小明画线段，他的根据是__________________．

【方法总结】

本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短．

【随堂练习】

1．（2020•南海区校级模拟）如图，，，已知，那么的大小是　　

A． B． C． D．

2．（2020秋•绿园区期末）如图，直线、相交于点，于点，且，则为_______．

3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，若，则_______．

4．（2020春•鱼台县期末）如图，村庄到公路的最短距离是的长，其根据是_________________________．

5．（2020秋•香坊区校级期中）如图，直线、相交于点，、为射线，且，平分，．

（1）求的度数；

（2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．

知识点4 同位角、内错角、同旁内角

模型：

1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.

【典例】

例1（2020秋•朝阳区期末）如图，直线、被直线所截，则与是　　

A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角

【方法总结】

此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“ “形．

例2 （2020春•莘县期末）如图所示，下列说法：

①与是同位角；

②与是内错角；

③与是同旁内角；

④与是同旁内角．

其中正确的是　　

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【方法总结】

此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．

【随堂练习】

1. （2020春•越秀区校级期中）下列所示的四个图形中，和是同位角的是　　

A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④

2．（2020春•长沙期末）下列四个图形中，与是内错角的是　　

A． B． 

C． D．

综合运用

1．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于　　

A． B． C． D．

2．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，与相交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

3．（2020•昆明模拟）如图所示，下列说法中错误的是　　

A．和是同位角 B．和是同旁内角 

C．和是同旁内角 D．和是内错角

4．（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在　　

A．点 B．点 C．点 D．点

5．（2019春•和平区期末）下列说法中正确的是　　

A．有且只有一条直线垂直于已知直线 

B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 

C．互相垂直的两条线段一定相交 

D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点到直线的距离是

6．（2019秋•卫辉市期末）如图，为平角，已知平分，平分，与相交于点，，则的度数为________．

7．（2020秋•虎林市期末）如图，点在直线上，，垂足为，是的平分线，若，则______度，　　度．

8．（2019春•红塔区期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分；

（1）直接写出图中的对顶角为________，的邻补角为________；

（2）若，且，求的度数．