初中1 两条直线的位置关系随堂练习题

第5讲  相交线

知识点1  直线交点个数

1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少有1个交点．

【典例】

例1 （2020秋•邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：

两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点

像这样，20条直线相交，交点最多的个数是　　

A．100个 B．135个 C．190个 D．200个

【方法总结】

此题主要考查了相交线探索规律．此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法是解题的关键．

根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，条直线相交，最多有个交点，据此解答即可.

【随堂练习】

1．（2020秋•鼓楼区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是　　

①直线和直线是同一条直线；

②射线和射线是同一条射线；

③线段和线段是同一条线段；

④三条直线两两相交时，一定有三个交点．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2019秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的条直线两两相交，最多共有36个交点，则　　

A．7 B．8 C．9 D．10

知识点2 邻补角与对顶角

邻补角

1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2. 邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角

1. 对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2. 对顶角的性质：对顶角相等.

【典例】

例1 （2020春•哈尔滨月考）如图，已知直线和相交于点．

（1）写出与的大小关系：___________，依据是___________；

（2）在的内部，过点作，平分，平分，画出符合条件的图形，并求出的度数；

（3）在（2）的条件下，若平分，求的度数．

【方法总结】

本题考查对顶角、邻补角、角平分线的意义，掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决问题的前提，根据图形直观得出各个角之间的和差关系是正确解答的关键．

例2 （2020春•雨花区校级月考）如图，直线，相交于点，平分．

（1）的对顶角为________，的邻补角为　　；

（2）若，求的度数；

（3）若，求的度数．

【方法总结】

本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的前提．

【随堂练习】

1．（2020春•公主岭市期中）如图，直线，相交于点，．

（1）的邻补角为________（写出一个即可）；

（2）若，判断与的位置关系，并说明理由；

（3）若，求的度数．

2．（2020春•芝罘区期末）如图，已知直线，相交于点，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

3．（2020春•五莲县期末）如图，直线，相交于点，平分．

（1）的补角是________________；

（2）若，求的度数．

知识点3 垂线

垂线

1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2. 垂直的模型：

说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2. 垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

【典例】

 例1 （2020春•兴国县期末）如图，已知直线、、相交于点，，．

（1）求的度数；

（2）若是的平分线，那么是的平分线吗？说明你的理由．

【方法总结】

本题考查了垂线，对顶角的定义，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

例2 （2020春•钦州期末）如图，直线，相交于点，过点作，且平分，已知．

（1）求证：；

（2）求的度数．

【方法总结】

本题主要考查垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，灵活运用垂线的定义是解题的关键．

例3 （2019秋•侯马市期末）如图，点，点分别代表两个村庄，直线代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路上的某处设置一个公交站．

（1）若考虑到村庄居住的老年人较多，计划建一个离村庄最近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是________________________________________；

（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄和村庄的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是_______________________________．

【方法总结】

此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020春•黄埔区期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为_________．

2．（2020春•大新县期末）如图，直线与相交于点，是的平分线，于点，于点．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

3．（2020春•长安区校级月考）下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

知识点4 同位角、内错角、同旁内角

模型：

1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.

【典例】

例1（2020秋•杨浦区校级期中）如图，共有_____对同位角，有　　对内错角，有　　对同旁内角．

【方法总结】

此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．

例2（2020春•自贡月考）如图，的同位角是_______；

的内错角是　　；

的同旁内角是　　．

【方法总结】

此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．

【随堂练习】

1．（2020春•西湖区期末）如图，有下列3个结论：①能与构成内错角的角的个数是2；②能与构成同位角的角的个数是1；③能与构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是_______．

2．（2020春•江城区期末）两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和是内错角．

（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；

（2）若、，求，的度数．

综合运用

1．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于　　

A． B． C． D．

2．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，与相交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

3．（2020•昆明模拟）如图所示，下列说法中错误的是　　

A．和是同位角 B．和是同旁内角 

C．和是同旁内角 D．和是内错角

4．（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在　　

A．点 B．点 C．点 D．点

5．（2019春•和平区期末）下列说法中正确的是　　

A．有且只有一条直线垂直于已知直线 

B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 

C．互相垂直的两条线段一定相交 

D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点到直线的距离是

6．（2019秋•卫辉市期末）如图，为平角，已知平分，平分，与相交于点，，则的度数为________．

7．（2020秋•虎林市期末）如图，点在直线上，，垂足为，是的平分线，若，则______度，　　度．

8．（2019春•红塔区期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分；

（1）直接写出图中的对顶角为________，的邻补角为________；

（2）若，且，求的度数．