初中数学北师大版七年级下册1 两条直线的位置关系达标测试

第5讲  相交线

知识点1  直线交点个数

1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少有1个交点．

【典例】

例1（2019春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么是　　

A．1 B．6 C．8 D．4

【解答】解：每三条不交于同一点，得

，

都交于同一点，得，

，

故选：．

【方法总结】

本题考查了相交线，利用每三条不交于同一点，都交于同一点得出，是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020春•环江县期中）三条直线相交，交点最多有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：如图：

，

交点最多3个，

故选：．

2．（2020春•涟源市期末）平面上有3条直线，则交点可能是　　

A．1个 B．1个或3个 

C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个

【解答】解：3条直线的分布情况可能是：如图，交点个数分别是0个或1个或2个或3个，

故选：．

知识点2 邻补角与对顶角

邻补角

1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2. 邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角

1. 对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2. 对顶角的性质：对顶角相等.

【典例】

例1 （2020春•涪城区期末）如图，直线，相交于点，平分，平分，，则________．

【解答】解：平分，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

平分，

，

，

故答案为：．

【方法总结】

本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义等知识点，能灵活运用知识点求出各个角的度数是解此题的关键．

例2 （2020秋•法库县期末）如图，直线与相交于点，．

（1）如图1，若平分，求的度数；

（2）如图2，若，且平分，求的度数．

【解答】解（1），平分，

，

，

，

即的度数为；

（2）

设，，

，

平分，

，

，

，

，

即的度数为．

【方法总结】

本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据列出方程．

【随堂练习】

1．（2020春•古丈县期末）完成推理填空：如图，直线、相交于，，是的角平分线，，求的度数．

其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．

解：，　已知　

又是的角平分线　　

【解答】解：， （已知），

，

又是的角平分线 （已知），

（角平分线定义），

，

（对顶角相等）．

故答案为：已知；56；已知；；角平分线定义；；；22；22；对顶角相等．

2．（2020春•赣州期末）如图，直线，相交于点，平分，平分．

（1）若，，判断与的位置关系，并进行证明．

（2）若，求的度数．

【解答】（1）．

证明：平分，平分，，

，，

，

；

（2）解：，，

，

，

，，

平分，平分，

，．

，

，

．

3．（2020春•香坊区期末）直线、相交于点，在的内部．

（1）如图①，当，时，求与的度数和；

（2）在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角；

（3）如图②，若射线平分在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由．

【解答】解：（1）且，

；

（2）根据补角的定义可知图中与互补的角有、、；

（3），理由如下：

平分，

，

，

．

知识点3 垂线

垂线

1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2. 垂直的模型：

说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2. 垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

【典例】

例1 （2020秋•长春期末）如图，直线与直线相交，交点为，，平分，若，求的度数．

【解答】解：，

，

平分，

，

，

，

．

【方法总结】

此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．

例2 （2020秋•双阳区期末）如图，直线、相交于点，过点作，平分．

（1）直接写出的补角；

（2）若，求的度数．

【解答】解：（1）的补角是，；

（2），

，

平分，

，

，

，

．

【方法总结】

本题主要考查了角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，是解答本题的关键．

例3 （2020春•赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

【解答】解：如图所示

（1）沿走，两点之间线段最短；

（2）沿走，垂线段最短；

（3）沿走，垂线段最短．

【方法总结】

根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•香坊区校级期中）如图，直线、相交于点，平分，于，且，求的度数．

【解答】解：，

，

又，，

，

平分，

，

答：的度数为．

2．（2020春•扶风县期末）如图，直线，相交于，平分，于点，，求，的度数．

【解答】解：，

，

，

，

，

平分，

．

3．（2020春•曹县期末）如图，直线，相交于，于，是的平分线，，求的度数．

【解答】解：于，

，

，

，

是的平分线，

，

，

．

4．（2020春•定州市校级期末）点为直线外一点，点，，在直线上，若，，，则点到直线的距离是　　

A． B． C．不大于 D．

【解答】解：，

根据从直线外一点到这条直线上所有点连线中，垂线段最短，

可知点到直线的距离是或比小的数，

即不大于，

故选：．

知识点4 同位角、内错角、同旁内角

模型：

1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.

【典例】

例1 （2020春•澧县期末）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．

【解答】解：如图1，

同位角有：与，与，与，与；

内错角有：与，与；

同旁内角有：与，与．

如图2，

同位角有：与，与；

同旁内角有：与．

【方法总结】

本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入

手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对

不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

例2 （2020春•民权县期末）如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①和是同位角，说法正确；

②和是对顶角，说法错误；

③和是内错角，说法正确；

④和是同旁内角说法错误；

说法错误的有2个，

故选：．

【方法总结】

此题主要考查了同位角、同旁内角、内错角和对顶角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．

【随堂练习】

1．（2020春•舞钢市期末）如图，给出以下说法：①和是同旁内角；②和是内错角；③和是同位角；④和是内错角；⑤和是对顶角，其中正确的个数是　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【解答】解：和是直线和被直线所截的一对同旁内角，故①正确；

和不是内错角，故②错误；

和是直线和被直线所截的一对同位角，故③正确；

和是直线和被直线所截的一对内错角，故④正确；

和不是对顶角，故⑤错误；

即正确的有3个，

故选：．

2．（2020春•揭阳期中）图中，和是同位角的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：根据同位角的意义，可知第4个图形中的和是同位角，其余都不是，

故选：．

3．（2020春•义安区期末）如图，和是直线　　和直线　　被直线　　所截得到的．应选　　

A．，，，同旁内角 B．，，，同位角 

C．，，，同位角 D．，，，同位角

【解答】解：和是直线和直线被直线所截得到的同位角，

故选：．

综合运用

1．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：平分，

，

，

，

，

．

故选：．

2．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，与相交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．，，

，

故本选项符合题意；

．，

，，

故本选项不合题意；

．与不平行，

，

故本选项不合题意；

．，

，

故本选项不合题意；

故选：．

3．（2020•昆明模拟）如图所示，下列说法中错误的是　　

A．和是同位角 B．和是同旁内角 

C．和是同旁内角 D．和是内错角

【解答】解：、和是同位角，此选项说法正确；

、和是邻补角，此选项说法错误；

、和是同旁内角，此选项说法正确；

、和是内错角，此选项说法正确；

故选：．

4．（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在　　

A．点 B．点 C．点 D．点

【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在处，

故选：．

5．（2019春•和平区期末）下列说法中正确的是　　

A．有且只有一条直线垂直于已知直线 

B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 

C．互相垂直的两条线段一定相交 

D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点到直线的距离是

【解答】解：、和一条直线垂直的直线有无数条，故错误；

、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，故错误；

、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故错误；

、直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点到直线的距离，故正确．

故选：．

6．（2019秋•卫辉市期末）如图，为平角，已知平分，平分，与相交于点，，则的度数为　　．

【解答】解：平分，平分，

，，

为平角，

，

，

故答案为：．

7．（2020秋•虎林市期末）如图，点在直线上，，垂足为，是的平分线，若，则______度，　　度．

【解答】解：，

又是的平分线．

，

，垂足为．

，

．

故答案是：20和35．

8．（2019春•红塔区期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分；

（1）直接写出图中的对顶角为　　，的邻补角为　　；

（2）若，且，求的度数．

【解答】解：（1）的对顶角为，的邻补角为；

故答案为：，；

（2），，，

，

，

，

．