北师大版七年级下册2 探索直线平行的条件课堂检测

第6讲   平行线

知识点1 平行公理及推论

1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.

2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

【典例】

例1（2019春•西湖区校级月考）在同一平面内，与已知直线平行的直线有_______条；而经过直线外一点，与已知直线平行的直线有且只有　　条．

【方法总结】

本题主要考查平行公理，注意成立的条件．

【随堂练习】

1．（2019秋•玄武区校级期末）如图，已知，，所以点、、三点共线的理由__________________________________________-．

2． （2019春•颍泉区校级月考）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点______（填“在”或“不在” 同一条直线上．

知识点2 平行线的判定

1. 平行线的判定方法：

判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

    简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.

判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

    简单说成：内错角相等，两直线平行.

如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.

判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.

2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

   注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.

【典例】

例1 （2020春•息县期末）如图，射线平分，且．求证：．

【方法总结】

本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．

例2 （2020春•昆明期末）填写下列空格：

已知：如图，平分，．

求证：．

证明：平分（已知），

________　　　　．

（已知），

　　　　．

　　．

【方法总结】

此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020春•越秀区校级月考）如图，下列条件中，不能判定的是　　

A． B． C． D．

2．（2020春•瀍河区校级期中）如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是_____________．

知识点3 平行线的性质

平行线的性质：

性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

    简单说成：两直线平行，同位角相等.

如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

    简单说成：两直线平行，内错角相等.

如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.

【典例】

例1 （2020春•黄埔区期末）完成下面的证明：

如图，和相交于点，，．求证．

证明：（已知）

___________________________．

（已知）

　　　　．

　　　　　　．

（等量代换）．

【方法总结】

本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

例2 （2020春•蔡甸区校级月考）如图，直线，，且，，求的度数．

【方法总结】

本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，牢记“两直线平行，内错角相等”等平行线的性质是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•德惠市期末）如图，，若，，则_______．

2．（2020•庆云县模拟）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于　　

A． B． C． D．

3．（2020秋•增城区期中）如图，，，，求的度数．

知识点4 平行线的判定与性质的综合运用

    两直线平行同位角相等.

两直线平行内错角相等.

    同旁内角互补两直线平行.

“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.

【典例】

例1 （2020春•河口区期末）如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？

【方法总结】

本题考查了平行线性质和判定的应用，关键是根据平行线的判定和性质解答．

例2 （2020春•汉阳区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．

（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若∠C＝63°，求∠DEC的度数．

【方法总结】

本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．

【随堂练习】

1．（2020春•曹县期末）如图，∠ABC＝∠ADC，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，DE∥BF．

（1）说明AB∥DC的理由；

（2）若∠A＝70°，求∠BFC的度数．

2．（2020春•莱州市期末）（1）已知，如图1，BE平分∠ABC，∠1＝∠2，试说明∠AED＝∠C成立的理由．下面是小明同学进行的说理，请你将小明同学的说理过程或说理根据补充完整．

解：因为BE平分∠ABC，

根据角平分线的定义

所以∠1＝______．

又因为∠1＝∠2，

所以______＝∠3

根据______________________________，

所以DE∥BC．

根据______________________________．

所以∠AED＝∠C．

（2）如图2，如果a∥b，写出：一组相等的角（对顶角除外）；写出一组互补的同旁内角．要求：使用已有的标注数据的角．

（3）如图2，要使c∥d，那么需要哪两个角相等？要求：使用已有的标注数据的角；直接写出所有的符合要求的等角，不需要说明理由．

知识点5 命题、定理、证明

1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.

   数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.

3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.

4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.

【典例】

例1（2020秋•枣庄月考）下列语句：①钝角大于；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是_______．

【方法总结】

本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．

例2 （2020春•徐州期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．

（1）如图，，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程．

小丽添加的条件：．

请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．

证明：（已知）

________　　

（已知）

（等量代换）

（2）拓展：如图，请你从三个选项①，②平分，③中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．

①条件：　　，结论：　　（填序号）．

②证明：　　．

【方法总结】

本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•卢龙县期末）“对顶角相等”的逆命题是　　

A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 

B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 

C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 

D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

2．（2020秋•唐河县期中）如图，分别将“ “记为，“ “记为，“”记为．

（1）填空：“如图，如果，，那么 “是_______命题；（填“真”或“假“

（2）以、、中的两个为条件，第三个为结论，写出一个真命题，并加以证明．

综合运用

1．（2020秋•叙州区期末）如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．（2020春•下城区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是　　

A． B． C． D．

3．（2019春•桂平市期末）如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2020春•定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有___________．（填序号）

5．（2020春•商河县期末）填写推理理由：

如图，，，求证：．

证明：，

______________________

，

．______________

______________．

_______．

6．（2020春•青龙县期末）已知：如图，，．求证：．

7．（2020春•凉山州期末）如图，已知∠1、∠2互为补角，且∠3＝∠B．

（1）求证：∠AFE＝∠C；

（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝85°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．