北师大版七年级下册第四章 三角形3 探索三角形全等的条件同步达标检测题

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第10讲 全等辅助线（一）知识点1 截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.如图，在线段上截取. 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.如图，延长到点D，使得.【典例】例1（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝　EC　即可，这就将证明线段和差问题　转化　为证明线段相等问题，只要证出△　ABD　≌△　AED　，得出∠B＝∠AED及BD＝　DE　，再证出∠　EDC　＝　∠C　，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠　F　＝∠C，再证出△　AFD　≌△　ACD　，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【解答】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图2：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC，故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C；方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F，∵∠ABD＝2∠C，∴∠F＝∠C，在△AFD和△ACD中，，∴△AFD≌△ACD（AAS），∴AC＝AF，∴AC＝AB+BF＝AB+BD，故答案为F，AFD，ACD．【方法总结】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定，角平分线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．【解答】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，∴△DCE≌△DCF（SAS），故∠ECA＝∠DCB＝40°． 知识点2 倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．例如：其中，延长使得，则．【典例】例1 （2019秋•麻城市期末）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．求证：AC＝2AE．【解答】证明：延长AE至点F，使EF＝AE，连接DF，如图所示：∵AE是△ABD的边BD上的中线，∴BE＝DE，在△ABE与△FDE中，，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴DF＝AB＝CD，∠EDF＝∠B，∵AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，∴AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠BDA+∠EDF＝∠ADF，在△ADF与△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴AC＝AF＝2AE．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．【随堂练习】1．（2019秋•东港区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求：（1）BC的长；（2）△ABC的面积．【解答】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC，在△ADC与△EDB中，∴△ADC≌EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB＝5，BE＝3，AE＝2+2＝4，即52＝32+42，即AB2＝BE2+AE2，∴△ABE是直角三角形，∴BD，∴BC＝2BD＝2，（2）∵△ABE是直角三角形，∴△ABE的面积，∵△ADC≌△EDB，∴△EDB的面积＝△ADC的面积，∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝6 综合运用1．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（　　）A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．【解答】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，在△EDB和△ADC中，，∴△EDB≌△ADC（SAS），∴BE＝AC＝3，∵△ABE中，AB＝5，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∵AE＝2AD，∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．故选：C．2．（2019秋•武冈市期中）如图，AC是△ABD的中线，AD是△ABE的中线，BA＝BD，求证：AE＝2AC．【解答】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，∵AC是△ABD的中线，∴BC＝DC．∵∠ACB＝∠FCD，∴△ABC≌△FDC（SAS）．∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF＝2AC．3．（2019秋•下陆区期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL（2）求得AD的取值范围是　C　．A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C． （3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．日期：2021/1/28 21:03:33；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626 4．（2020春•姑苏区期末）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　2　cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．【解答】解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，，∴△HFM≌△OFM（SSS），∵△OFM的面积是：2cm2，∴△HFM的面积是2cm2，∴四边形HFOM的面积是4cm2，∴五边形FGHMN的面积是4cm2．日期：2021/1/28 20:12:03；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626