北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形同步练习题

第12讲 轴对称图形

 知识点1 轴对称现象

1.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形.

2.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

【典例】

例1 （2020秋•中山区期末）八年一班的学生设计了下面四个图形，是轴对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：从左到右第一、二、四共三个图形是轴对称图形，

故选：C．

【方法总结】

此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

例2（2020秋•永年区期末）如图，与线段a、b可以构成轴对称图形的是（　　）

A．线段c B．线段d C．线段e D．线段f

【解答】解：与线段a、b可以构成轴对称图形的是线段f，

故选：D．

【方法总结】

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

例3（2020•澄海区一模）下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，有2条对称轴，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，有无数条对称轴，故此选项不合题意；

故选：B．

【方法总结】

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【随堂练习】

1．（2020秋•齐河县期末）下列图形，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

2．（2020秋•朝阳区期末）新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：第一个图形可以看作轴对称图形；

第二个图形不可以看作轴对称图形；

第三个图形可以看作轴对称图形；

第四个图形不可以看作轴对称图形；

故选：B．

3．（2020•河北一模）在下列图形中，其中是轴对称图形且有四条对称轴的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A．是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项不合题意；

B．是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项不合题意；

C．是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项符合题意；

D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：C．

知识点2  轴对称的性质

对应点：折叠后重合的点；

对应线段：折叠后重合的线段；

对应角：折叠后重合的角.

轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角也相等，且关于直线对称的两个图形全等.

【典例】

例1 （2020秋•汉阳区期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为（　　）

A．108 B．115 C．122 D．130

【解答】解：如图，

∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，

∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，

∵∠B＝61°，∠C＝54°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣61°﹣54°＝65°，

∴∠EAF＝2∠BAC＝130°，

故选：D．

【方法总结】

此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．

例2 （2020秋•江都区月考）如图，△ABE、△BDC和△ABC分别是关于AB，BC边所在直线对称的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3═9：2：1，则∠4的度数为　90°　．

【解答】解：延长AB交DC于点F，

∵∠1：∠2：∠3＝9：2：1，

∴设∠1＝9x，∠2＝2x，∠3＝x，

由∠1+∠2+∠3＝180°得：

9x+2x+x＝180°，

解得x＝15，

故∠1＝9×15＝135°，∠2＝2×15＝30°，∠3＝1×15＝15°，

∴∠DCB＝∠E＝∠3＝15°，∠2＝∠EAB＝∠D＝30°，

∴∠EAC＝60°，∠DCA＝30°，

∴∠4＝∠EAC+∠DCA＝90°，

故答案为：90°．

【方法总结】

本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．

【随堂练习】

1．（2020秋•郯城县期中）如图，直线l是五边形ABCDE的对称轴，其中∠C＝100°，∠ABC＝130°，那么∠BEA的度数等于（　　）

A．45° B．50° C．60° D．65°

【解答】解：∵直线l是五边形ABCDE的对称轴，

∴∠ABC＝∠AED＝130°，∠C＝∠D＝100°，AB＝AE，

∴∠BAE＝540°﹣130°×2﹣100°×2＝80°．

∴∠BEA

故选：B．

2．（2020秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为　134°　．

【解答】解：连接AD，

∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，

∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，

∵∠B＝62°，∠C＝51°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣51°＝67°，

∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，

故答案为134°．

知识点3 线段的垂直平分线

1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

【典例】

例1 （2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为　11　．

【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

同理，GA＝GC，

∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，

故答案为：11．

【方法总结】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

例2 （2020秋•虎林市期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．

（1）求∠PAQ的度数．

（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．

【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，

∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，

∴AP＝PB，AQ＝CQ，

∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，

∵∠BAC＝80°，

∴∠B+∠C＝100°，

即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，

∴x＝20°，

∴∠PAQ＝20°；

（2）∵△APQ周长为12，

∴AQ+PQ+AP＝12，

∵AQ＝CQ，AP＝PB，

∴CQ+PQ+PB＝12，

即CQ+BQ+2PQ＝12，

BC+2PQ＝12，

∵BC＝8，

∴PQ＝2．

【方法总结】

本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出AP＝PB，AQ＝CQ，正确的进行等量代换．

例3 （2020秋•卢龙县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．

（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

【解答】解：（1）△CDE的周长为10．

∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，

又∵∠ACB＝125°，

∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，

∴∠ACD+∠BCE＝55°，

∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．

【方法总结】

本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

【随堂练习】

1．（2020秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．

（1）求证：AB＝EC；

（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．

【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，

∴AE＝EC，

∵AD⊥BC，BD＝DE，

∴AB＝AE，

∴AB＝EC；

（2）解：∵△ABC的周长为14cm，

∴AB+BC+AC＝14（cm），

∵AC＝6cm，

∴AB+BC＝8（cm），

∵AB＝EC，BD＝DE，

∴DC＝DE+EC（AB+BC）＝4（cm）．

2．（2020秋•黄石港区校级期中）如图，△ABC中AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、N，若∠EAN＝34°，求∠BAC的度数．

【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，

∴AE＝BE，AN＝CN，

∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，

∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝2∠BAE，∠ANB＝∠CAN+∠C＝2∠CAN，

∵∠EAN＝34°，

∴∠AEN+∠ANE＝180°﹣∠EAN＝146°，

∵∠AEN＝180°﹣2∠BAE，∠ANE＝180°﹣2∠CAN，

∴180°﹣2∠BAE+180°﹣2∠CAN＝146°，

∴∠B+∠C＝107°，

∴∠BAC＝180°﹣107°＝73°．

知识点4 设计图案

用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．

【典例】

 例1 （2020春•太平区期末）如图所示，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂上颜色，请再将图中剩余的7个小正方形涂黑一个，使整个图案成为一个轴对称图形．（请用4种不同的方法涂）

【解答】解：如图所示：

．

【方法总结】

此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称定义得出是解题关键．

 例2 （2020春•左权县期末）下面网格都是由边长为1的小正方形组成，观察如图三个图案（阴影部分），回答下列问题：

（1）请写出这三个图案的至少两个共同特征；

（2）请在图④中设计一个图案，使它具备你所写出的特征．

【解答】解：（1）是轴对称图形．面积都是4．

（2）如图④，即为所求（答案不唯一）．

【方法总结】

本题考查利用轴对称，中心对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

【随堂练习】

1．（2020春•富平县期末）如图，4×5的方格纸中，请你在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，使得图中阴影部分构成的图形是轴对称图形．

【解答】解：如图所示：（答案不唯一）

．

2．（2020春•禅城区期末）观察设计：

（1）观察如图①、②中阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征；

（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征．（注意：新图案与已有的2个图案不能重合）

【解答】解：（1）都是轴对称图形，面积都是4个小正方形的面积和．

（2）符合题意的图案如图所示：

   综合运用

1．（2020秋•五常市期末）下列图形中不是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：C．

2．（2020秋•喀什地区期末）以下四个手机品牌图标，属于轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

3．（2020秋•莱州市期中）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形；

B、有四条对称轴；

C、不是轴对称图形；

D、有三条对称轴．

故选：D．

4．（2020秋•韩城市期中）下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、有4条对称轴，故此选项错误；

B、有3条对称轴，故此选项错误；

C、有2条对称轴，故此选项正确；

D、有4条对称轴，故此选项错误；

故选：C．

5．（2020秋•增城区期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝　8　．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD＝DC，

∴BC＝BD+DC＝BD+DA，

∵AB＝4，△ABD的周长为12，

∴BC＝12﹣4＝8．

故答案为：8．

6．（2020秋•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是　12　．

【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，

故答案为：12．

7．（2020秋•镇原县期末）如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝　120°　．

【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，

∴点O为△ABC的外心，

∴∠BOC＝2∠BAC，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BOC＝120°，

故答案为：120°．

8．（2020春•商水县期末）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．

（1）请在下面每一个备选图中作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（不能重复）

（2）在这个3×3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有　6　个．

【解答】解：（1）与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示：（答案不唯一）

（2）最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．

故答案为：6．

9．（2020秋•高邮市期中）方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．

（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；

（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于10；

（3）直接写出图3中△FGH的面积是　9　．

【解答】解：（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

（3）如图3所示：

△FGH的面积＝矩形ABHC的面积﹣△AFG的面积﹣△BGH的面积﹣△FCH的面积

＝5×6

＝9

故答案为：9．

10．（2020春•渌口区期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．

（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；

（2）若∠CPD＝131°，∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN．

【解答】解：（1）∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，

∴PM＝CM，ND＝NP，

∵△PMN的周长＝PN+PM+MN，PN+PM+MN＝CD＝18cm，

∴△PMN的周长＝18cm；

（2）点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D

所以∠C＝∠CPM＝21°，∠D＝∠DPN＝28°，

所以∠MPN＝∠CPD﹣CPM﹣∠DPN＝131°﹣21°﹣28°＝82°．