初中数学湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线教学ppt课件

教学目标

1.理解线段垂直平分线的概念；

2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；

3.能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算.

教学重难点

重点：线段的垂直平分线的性质定理及其应用.

难点：对线段的垂直平分线的性质定理的探索及证明.

教学过程

导入新课

如图1，在马路某段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人就医，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处.

探究新知

一、线段垂直平分线的概念

问题1：如图2，已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，直线l与线段AA′有什么关系？

师生活动

教师提出问题，学生观察探究结论，如图2，已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD＝A′D，∠1＝∠2＝ 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直于线段AA′.

归纳：我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

二、线段垂直平分线的性质定理

问题2：如图3，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l上的点，请猜想点P1，P2，P3到点A与点B的距离之间的数量关系.

图3

师生活动：生可以动手测量，讨论猜测，然后利用轴反射来论证这一猜想，可以借助多媒体展示这一变换过程.

归纳：线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

三、线段垂直平分线的判定

问题3：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？如何证明？怎么使用你发现的规律？

师生活动

教师提出问题，学生独立思考，记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论，写出推论证明过程.

（1）当点P在线段AB上时，

因为PA＝PB，

所以点P为线段AB的中点，

显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.

（2）当点P在线段AB外时，如图4所示.

因为PA＝PB，

所以△PAB是等腰三角形.

过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，

从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.

即PC⊥AB，且AC＝BC.

因此直线PC是线段AB的垂直平分线，

此时点P也在线段AB的垂直平分线上.

归纳：线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

应用格式：

如图5，∵ PA＝PB，

∴ 点P在线段AB的垂直平分线上.

应用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

新知应用

例  已知：如图6，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.

求证：点O在线段AC的垂直平分线上.

证明：∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，

∴ OA＝OB.

同理OB＝OC.

∴ OA＝OC.

∴ 点O在线段AC的垂直平分线上.

师生活动：学生独立思考，小组讨论，自己完成证明过程.教师强调步骤的关键点和易错点.

课堂练习

1.如图7所示，AC＝AD,BC＝BD,则下列说法正确的是（　　）

A.AB垂直平分CD；

B.CD垂直平分AB；

C.AB与CD互相垂直平分；

D.CD平分∠ACB.

2.在锐角三角形ABC内有一点P，满足 PA＝PB＝PC,则点P是△ABC（   ）

    A.三条角平分线的交点

    B.三条中线的交点

    C.三条高的交点

    D.三边垂直平分线的交点

3.下列说法：

① 若点P，E是线段AB的垂直平分线上的两点，则EA＝EB，PA＝PB；

②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；

③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；

④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB.

其中正确的有               （填序号）.

4.如图8，△ABC中，AB＝AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC＝16 cm,则△BCE的周长是        cm.

5.已知：如图9，点C，D是线段AB外的两点，且AC＝BC，AD＝BD，AB与CD相交于点O.

求证：AO＝BO.

图8　　　　   　　图9　　　    　　　图10

6.如图10所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF 的关系.

参考答案

1.A  2.D  3.①②③  4.16

5.证明：∵ AC＝BC，AD＝BD，

∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上，

∴ 直线CD为线段AB的垂直平分线.

又∵ AB与CD相交于点O，∴ AO＝BO.

6.解：AD垂直平分EF.

∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ ∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.

又∵ AD＝AD，∴ △ADE≌△ADF，

∴ AE＝AF，DE＝DF.

∴ A，D均在线段EF的垂直平分线上，

即直线AD垂直平分线段EF.

课堂小结

布置作业

教材第70页练习.

板书设计

教学反思

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