第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（讲+练）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）











第一部分：知 识 点 精 准 记 忆

1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.

2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·全国·高二）设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，
因此当时，恒成立，一定有成立，
即，因为，所以有.
故选：A
2．（2022·全国·高二）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，
，
不等式对任意实数x都成立，
所以.
故选:D.
3．（2022·全国·高二）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函数,对都有,
当时,即,
即为
可化为
令,
则
当时,,单调递减.
因此
所以
故实数的取值范围是
故选B
第三部分：典 型 例 题 剖 析

高频考点一：分离变量法
1．（2022·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可知，不等式在上恒成立，
则对上恒成立，
设，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取极大值，即为最大值，最大值为，
所以，，
所以的取值范围为
故选：B
2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
对任意都有恒成立，
则时，
，当时恒成立，
 ，当时恒成立，
，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知对，不等式恒成立，则实数a的最小值是（       ）
A．e B． C． D．
【答案】C
对，不等式恒成立，等价于在恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以，
所以.
故选：C.
4．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
，不等式化为，
令，则，
令（），则，所以在上是增函数，
所以，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，
所以．
故选：A．
5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.
（1）函数定义域是，
，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
（2）即在上恒成立，则，
设，则，时，，递增，时，，递减，，所以．
6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)讨论函数在区间的极值；
(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
在区间上， ，
当时， 恒成立， 在区间上单调递减，
则在区间上无极值；
当时，令得，
在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增.
若，即，则在区间上极小值
若或，即或，则在区间上无极值
(2)
因为函数在处取得极值，
所以，解得，经检验可知满足题意
由已知，即，
即对恒成立，
令，则，
当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即.
7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
，.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
(2)
若对任意，恒成立，
则恒成立，即.
设，则，令，
解得，当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，，
，当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.
8．（2022·河南·三模（文））已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(1)
可得，
因为曲线在点处的切线为.
所以，解得，.
(2)
由（1）知，
∵不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
令，∵，当时，解得.
∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，
∴的最小值为，∴，∴正实数m的取值范围为.
高频考点二：分类讨论法
1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若为函数的极值点，当，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)

①当时，恒成立，
∴只有减区间，
②当时，令，得，令，得
∴的增区间为，的减区间为.
(2)
为函数的极值点，
∴
，
当，不等式
即，令，．
，，
若，在上恒成立．
则在上为减函数，
所以有满足题意．
若，由，可得，则在上递增，
所以在上存在使得与题意不符合
综上所述，
2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数.
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
当时，
令，得
故函数的单调减区间为
(2)
令

令，由于
①当时，对恒成立，故对恒成立
故在单调递减，成立；
②当时，在恒成立，
故在单调递减，成立；
③当时，对称轴为，为开口向下的二次函数，
故在单调递增，，
故在存在唯一的零点，
在，故在单调递减；在，故在单调递增
故当不成立
综上：
3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线在处的切线方程为，且.
(1)求的解析式；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)
，∴，
，，
，，
切线方程为，即，
∴.
(2)
令，
，，,
当时，，所以在上单调递增，
所以，即符合题意；
当时，设，
①当，，，所以在上单调递增，
，所以在上单调递增，
所以，故符合题意；
②当时，，，
所以在上递增，在上递减，且，
所以当时，，
则在上单调递减，且，
故，，舍去.
综上：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，曲线在点处的切线为．
(1)证明：对于，；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)
，，又，
切线方程为：，即，即；
设，则，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，即，
对，；
(2)
解法一：当时，恒成立，则恒成立；
令，
则，，
在上单调递增，；
①当时，，，在上单调递增，
，即恒成立；
②当时，，，
令，则，，，
，使得，
又在上单调递增，当时，，单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
解法二：由得：，
当时，，，不等式恒成立，；
当时，，
令，
则，
令，则，
在上单调递增，，即，
在上单调递增；
由洛必达法则可知：，
，；
综上所述：实数的取值范围为.
5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知，设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
，且，
①，，单调递增；
②，，单调递减；
③，，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增
(2)
，
即，令，
则，令，可得，
当时，，则在单调递减，
则只需满足，∴，解得，∴；
当时，可得在单调递增，在单调递减，
则，
整理可得，
令，则，
，
则可得在单调递增，在单调递减，
则，故时，恒成立，
综上，；
6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当x>1时，恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
(1)
函数的定义域为，求导得：，
当a=0时，恒成立，则在上单调递增，
当时，令得，，则在上单调递减，
令，得，则在上单调递增，
所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
当a=0时，在上单调递增，则，
当时，，则在上单调递增，有，
当时，，则在上单调递减，在上单调递增，
则有，这与当时，恒成立矛盾，即不合题意，
综上得，，即，
所以a的取值范围为.
高频考点三：等价转化法
1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)当a=1时，若不等式恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
（1）的定义域为， ，
当时，，f（x）单调递减；
当a>0时，令，解得，
所以当时，，f（x）单调递减，
当时，，f（x）单调递增，
综上，当时，f（x）在上单调递减；当a>0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增.
(2)
当a=1时，，
所以不等式恒成立等价于在恒成立，
即只需，
记，则，
当时，，所以h（x）单调递减，当时，，所以h（x）单调递增，所以，所以，即，当且仅当x=0时取等号.
又因为，当且仅当时取等号.
所以，从而，所以，
所以，所以m的取值范围为.
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数，．若对一切正实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】．
由f(x)≤g(x)，得ax＋lnx≤a2x2，即a2x2－ax－lnx≥0.
设h(x)＝a2x2－ax－lnx，则只需h(x)min≥0.
h′(x)＝2a2x－a－＝，且a＞0, x＞0.令h′(x)＝0，得x＝.
易知在区间上，h′(x)＜0, h(x)单调递减；在区间上，h′(x)＞0, h(x)单调递增．
所以h(x)min＝h＝a2×2－a×－ln≥0，得a≥1，即实数a的取值范围是[1, ＋∞)．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)最小值(2)
(1)
解：由函数，得的定义域为，
当时，，，
令，解得；令，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值，即．
(2)
解：令，
因为对于任意都有，只须在上恒成立，
又由，
因为，
所以，，即
所以在上单调递增，所以，解得，
所以当时，对任意都有成立．
4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数，.
(1)若在点处的切线方程为，求实数a、b的值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
(1)
因为，所以，，
由函数在处的斜率与直线的斜率相等得：，得①，
又切点既在曲线上，又在切线上得：代入切线中得：②，
解得：，.
(2)
由，得，（当时，），分离参数得，
令，问题转化为求函数的最小值，
，当时，即时，，在上递增，
当时，，在上递减，
于是得在处取得最小值，所以实数的取值范围是.
5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数，中.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，对任意实数恒成立，求的最大值.
【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为(2)0
(1)
函数的定义域为，.
当时，令解得：，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增； 在上单调递减..
(2)
当时，，故恒成立可化为其中.
设，则，即.
由（1）可得，在上单调递减.，所以，，即.
下面讨论在上的零点：
①若，即.
此时，，在上单调递增.
故，即；
②若，即.
此时，在上单调递增.，故，所以；
③若，
此时，在上单调递减..
又，.
故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单增.
故
又，所以.
令，则，
所以，所以在上单调递减，故，
综上所述：的最大值为0.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式
高频考点四：最值法
1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数，其中
(1)若函数的极小值为0，求实数m的值；
(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：，
由，得或
当或时，；
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在时取到极小值．
由，解得
(2)
由（1）知，函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，
所以区间上的最小值为
由恒成立，知，即
所以
2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)求的最大值
(2)若恒成立，求的值
【答案】(1)
(2)
(1)
因为，所以，
由得；得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，即.
(2)
要使成立必须，
因为，所以当，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以满足条件的只有，即.
3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
(1)

令，解得或，且
当时，，当时，，
当时，
即的单调增区间为，单调减区间为
(2)
由（1）知，当时，恒成立
所以在上为增函数，
即.
的最大值为
恒成立

即，
又
故的取值范围
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数在与处都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)，；(2).
(1)
由题设，，
又，，
解得，.
(2)
由（1）得，即，
当时，，随的变化情况如下表：




1


+
0
-
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，
又，显然f（-）＜f(2),
所以为在上的最大值.
要使对任意恒成立，则只需，
解得或c>1.
∴实数c的取值范围为.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
解：函数的定义域为，，
令得或，
当时，，由得或，
所以函数的递增区间为，，递减区间为.
当时，由，所以函数的递增区间为，无递减区间；
当时，，由得或，
所以函数的递增区间为，，递减区间为.
综上，当时，的递增区间为，，递减区间为；
当时，的递增区间为，无递减区间；
当时，的递增区间为，，递减区间为.
(2)
解：∵，所以，
由（1）知当时，，所以函数在上单调递减，
则，，
∵对，不等式恒成立，
∴，即对恒成立，
令，则函数在上单调递增，
所以.
所以实数m的取值范围为.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线方程是.
(1)求的解析式；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
，，，
所以在点处的切线方程是，
即，化简得：，
又切线方程是，故，
，，
所以的解析式为.
(2)
因为对任意，都有，
所以对任意，都有，
因为，
所以当时，，则是增函数，
当时，，则是减函数，
当时，，则是增函数，
所以，，
所以，实数的取值范围是.
第四部分：高考真题感悟

1．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
2．（2020·海南·高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】
（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
       ，使得
又在上单调递减       为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减       
可知不恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
第五部分：第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）

一、单选题
1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数在区间单调递增，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意得：在区间上恒成立，而，所以.
故选：A
2．（2022·全国·高二）函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是（       ）
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C． D．
【答案】A
设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈(1，3)时 ，，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，，h(x)单调递增．时，，递增，
时，取极大值，当x＝3时，函数h(x)取得最小值．因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，则有上>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．
故选：A．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，，且，，且，恒成立，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，，且，恒成立，
对，，且恒成立，
令，
则只需，对恒成立，
即，对恒成立，只需，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
的取值范围为．
故选：B．
4．（2022·全国·高二）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
，由题意，恒成立，则，因为，
所以.
故选：C.
5．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
，所以函数在区间上单调递增.所以当时，恒成立，即恒成立，记，则，当，即时，易知，所以在区间上单调递增，所以，则有，满足题意；当，即时，令，得，时，时，所以当时，有最小值，解，得.综上，k的取值范围为.
故选：B
6．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数，若恒成立．则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意，当时，，当时，，
解得，当时，在上单调递减，成立，则有，
当时，，令，，
，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，于是得，
综上得，，
所以a的取值范围为.
故选：B
7．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m，n为实数，不等式恒成立，则的最小值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
设 ，
当 时，恒成立，故在 上单调递增，
存在实数，比如 使得 ，此时不等式不成立，不合题意；
当时，令，
当 时，， 单调递增，当 时，， 单调递减，
故，即恒成立，
由于，所以，
令 ， ，
当 时，， 单调递减，
当 时，， 单调递增，故 ，
故，故，
故选：A
8．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为的函数满足，且，e为自然对数的底数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C．D．
【答案】B
由，得
设，，
则，从而有.
又因为，所以，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
因为不等式恒成立，所以，
即，又因为，所以.
故选：B.
二、填空题
9．（2022·全国·高二课时练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
根据题意，当时，分离参数，得恒成立．
令，∴时，恒成立．
令，则，
当时，，∴函数在上是减函数．
则，∴．
∴实数的取值范围是．
故答案为：
10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
解：，
当时，，，
若，则当时，，这与矛盾，
故，
，
若，则当时，，
所以函数在上递减，
所以符合题意；
若，当时，，
所以函数在上递增，
故当当时，，这与矛盾，
综上所述.
故答案为：.
11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数．若对任意，都有成立，则实数的最小值是________．
【答案】
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
若对任意，都有成立，则；
当时，恒成立，又，恒成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则只需即可，即；
综上所述：的取值范围为；
的最小值为.
故答案为：.
12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
由，得，
令，则，
令恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，g（x）单调递减；
当时，，g（x）单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
三、解答题
13．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数，
(1)求过点的函数的切线方程
(2)若对任意，都有成立，求正数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
解：由题意，函数，可得，
设曲线的切点坐标为，所以切线的斜率为，
可得过点的切线的方程为，
又因为切线过点，可得，解得，
所以切线方程为.
(2)
解：设，则，
令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，，
由对任意，都有成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
14．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值
(2)3
(1)
函数的定义域为，
由，令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴   函数的递增区间为，递减区间为，
函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值
(2)
当时，不等式可化为，
设，由已知可得，
又，
令，则，
∴   在上为增函数，又，，
∴ 存在，使得，即
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴   ，
∴   ，
∴ m的最大值为3.
15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数，是其导函数，其中．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
解：，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
所以a的取值范围为；
(2)
解：由得，
即对恒成立，
令，
，
当时，，不满足；
当时，时，，时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，不符合题意；
当时，时，，时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，解得，
综上所述，a的取值范围.
16．（2022·四川达州·二模（文））已知.
(1)当时，求曲线上的斜率为的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)
当时，，；
令，解得：，切点坐标为，
所求切线方程为：，即；
(2)
令，
则原问题转化为：当时，恒成立，即恒成立；
，，
则当时，，在上单调递增，；
①当，即时，，在上单调递增，
，解得：，；
②当，即时，，当时，；
，使得，即，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
解得：，即，又，，
令，则，当时，，
在上单调递减，，即；
综上所述：实数的取值范围为.