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第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题（讲+练）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
高频考点五：值域法解决双参等式问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，
设，，∵，∴，
∴在上恒为增函数，∴，∴，
故选：B.
2．（2022·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意：
，令，
则，
令，
则，易知单调递增，
，所以单调递增，
故，故，
则在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，
故选：B.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
函数的定义域为，
.
令，得或（舍）.
当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在，使得不等式成立，
所以，
所以实数m的最小值为1.
故选：C
4．（2021·广东·高三专题练习）已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为
A．4 B．
C． D．
【答案】A
试题分析：，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A.
考点：函数的图象和性质.
【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法
1．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为，所以，
在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，
令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，
，故实数的取值范围为．
故选：D
2．（2022·河南焦作·二模（文））已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，，
所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增，因为，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A
【点睛】
恒（能）成立求参数的取值范围问题常见思路：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数.
(1)若，求函数的极小值.
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)1；(2).
(1)
当时，则，令，得．
时，函数的单调递增区间为，
时，函数的单调递减区间为；
所以函数的极小值为.
(2)
由题设，在上，
设，则，显然当时恒成立，
所以在单调递增，则，
综上，，故．
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值
(2)
(1)
解：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数的极大值为，无极小值；
(2)
解：若存在，使不等式成立，
则，即，
则问题转化为，
令，，
，
当时，，当时，，
所以函数在递增，在上递减，
所以，
所以.
5．（2022·江苏省天一中学高二期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(2)
(1)
当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
(2)
因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
6．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）己知函数.
(1)当时，求的单调区间.
(2)存在，使得成立，求整数的最小值.
【答案】(1)增区间为，无单减区间(2)
(1)
解：当时，，该函数的定义域为，
则，当且仅当时，等号成立，
故函数的增区间为，无单减区间.
(2)
解：存在，使得成立，即，
令，其中，则，
，
令，则，
令，对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
即对任意的恒成立，则函数为增函数.
因为，，
所以存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，，
设，则，
令，则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
即对任意的恒成立，故函数在为增函数，
故，即，即，
因为为整数，所以整数的最小值为.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
高频考点二：分类讨论法
1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
已知函数，定义域为，
，
①当时，，
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，函数在单调递增；
③当时，，
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
若存在，使得成立，即使得.
由（1），可知当时，在上单调递增，，
不满足；
当时，
x
-
0
+
递减
极小值
递增
，所以，即，
令，∴，
∴在上单调递减，
又∵，由，得.
综上，实数a的取值范围为.
2．（2022·安徽马鞍山·一模（文））已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)
(1)
若时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题意可知，即求成立的的取值范围，
因为，，所以，
所以（当且仅当时取等号），
即，即求对任意成立的的取值范围，
当时，，此时在上单调递增，
且有，不满足；
当时，易知，显然成立；
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)在单调递减；在上单调递增；(2).
(1)
函数的定义域为，
由可得，
由可得，由可得，
所以在单调递减；在上单调递增；
(2)
由题意得，且，
当时，因为时，，所以在上单调递减，
又因为，故在上不可能恒成立；
当时，令，
则，
所以在上单调递增，则，
①当，即时，在上单调递增，
所以，故在上恒成立；
②当，即时，，，
故存在在使得，
此时函数在上单调递减，又，
故在上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述，的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数在时取极值，求的单调区间；
（2）若当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为；（2）
（1），
因为函数在时取极值，所以，
可得：，所以，
，
由可得：或；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在时取极大值，符合题意；
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
（2），
若当时，可得对于恒成立，
令，只需，，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
，所以不成立
当时，由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以只需，解得：，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
所以，所以恒成立，所以符合题意，
综上所述：，
所以实数的取值范围是
5．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
当时，,定义域为R，.
所以，.
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，
即.
(2)
不等式可化为：，
即存在，使得不等式成立.
构造函数，则.
①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；
②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；
③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.
综上所述：m的取值范围为：.
高频考点三：等价转化法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由，得，即，
记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，记，，
，
，，，
时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知，存在唯一整数使得点在直线的下方，
，时，时，即在上递减，在上递增，，
直线恒过定点且斜率为，，如图：
又，，，于是有，符合题意的唯一整数为0，
观察图形得，，即，从而得，
所以的取值范围是
故选：D
3．（2022·江苏南通·高二期末）设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
由，得，
令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
由于存在，成立，则
故答案为：
4．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）已知函数（）．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
（1）．
当时，，∴在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．
∵当时，，∴有解，
令，，则．
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数的取值范围．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
解：（1）令，即，则，
函数与有公共点，即有解.
令，则.
令，
当时，，所以，当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以且当时，
所以.
（2）不等式恒成立,即恒成立.
则时，成立，解得，
由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意.
当时，令，且在上单调递增.
又，可知存在唯一的正数，使得，
即，
则在上单调递减，在上单调递增.所以，
即当时，不等式成立.
故整数的最小值为
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.
（1）函数，定义域为，
，
当时，令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
函数的极小值为，函数的极大值为.
（2）令，
在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.
由得：，
，，又，，
当时，；当时，，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，此时不成立，
②当，即时，在上单调递减，；
由可得：，
，；
综上所述：实数的取值范围为.
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
存在，，使得成立，等价于，，使得成立．因为，∴函数在上单调递增，上单调递减，∴时，函数取得极小值即最小值，所以
．，可得函数在上单调递减，∴．
∴．因此实数a的取值范围是．
故答案为：．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______
【答案】
对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为：
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递减，
所以存在，使成立，则，
即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.
【答案】
若对，，，，恒有成立，
只需在，上，即可.
，
，，
在，，，，
故与，是单调递增区间.
在，，
故，是单调递减区间.
因此的极小值为又，
所以
所以，
解得的范围为.
4．（2022·上海·高三专题练习）已知两函数，，其中为实数.
（1）对任意，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
（1）依题意，，
令，则对任意，都有成立，等价于对任意，都有成立，
，而，则当或时，，当时，，
因此，在和上都单调递减，在上单调递增，当时，取极小值，当时，取极大值，
而，，于是得当时，，，
所以的取值范围是；
(2)由(1)知，，，，
存在，使成立，等价于存在，有成立，则，
所以的取值范围是；
(3)当时，，当时，，
当时，，当或时，，当时，，
则在和上都是递增的，在上递减，而，，从而得当时，，
对任意，都有，等价于在的最大值不大于在上的最小值，
即，解得，
所以的取值范围是.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;
（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
（1）设，
则，
在区间上，，，
所以当时，，单调递减，
且，
故时，，
所以，
所以在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方．
（2）由，得，
当时，，
所以，
．
存在，，使成立等价于，
即，
，
故满足条件的最大整数为4．
6．（2022·重庆南开中学高二期末）设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
(1)
,
,
①当时，恒成立，
在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当吋，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当吋，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
(2)
由题意可知：
在单调递减，单调递增
由（1）可知：
①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，
则应（舍）
③当时，，
则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解
综上，.
7．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
，
①当时，由于，故，，
所以的单调递增区间为；
②当时，由，得，
在区间上，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
由题目知，只需要即可
又因为，所以只需要即可
即等价于恒成立，
由变量分离可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在为减函数，为增函数，
所以，所以.
高频考点五：值域法解决双参等式问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．
C． D．
【答案】A
，
所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
2．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．
【答案】
由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
3．（2022·上海长宁·高一期末）已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
①当，时，，，
则在单调递减，不满足题意（舍）；
②当，时，，
当时，，在单调递减，
且,；
当时，由，得，
当，即时，，则恒成立，
则，不满足题意（舍）；
当，即时，，则在单调递增，
在单调递减，且对于任意，，
则满足存在相异的实数，使得成立，
所以.
故答案为：.
4．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2).
(1)
函数的定义域为，．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)
，
又，则．
令，即方程在上有解．
令，，
则，．，
当时，，在上单调递减，
又，则在上恒成立，不合题意；
当时，，令，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且，所以．
当时，，
当时，；
则时，，
而．
令，则，
令，，
则在上单调递减，，
则在上单调递减，，即，
故存在，使得，故满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
【答案】[－2，0].
由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，
则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，
所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
6．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知函数，，.
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
当时，，
由，即
当时，不符合题意
当时，则
当时，则
综上所述：
(2)
由题可知：，
所以在恒成立，
则且在恒成立，
由 ，所以
当时，；当时，
所以在单调递减，在单调递减
所以当时，；当时，
所以的最小值为
又，所以，
当时，；当时，
所以在单调递减，在单调递减
所以当时，；当时，
所以函数在的最大值为3
所以且，即
7．（2021·吉林吉林·高三阶段练习（理））已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2），，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.
解：（1）因为，所以，且定义域为，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
-
+
-
极小值
极大值
因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为.
（2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以，
即在上，因为，所以，，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又，
所以的取值范围为.
8．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数，，若，则的值域为____ ；若对，，使成立，则c的取值范围是__________.
【答案】
解：因为，所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上最大值为，
当时，且，
所以函数值域为，
由，
当时，，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为，
因为对，，使成立，
所以，
所以，解得，
所以c的取值范围为
故答案为：；
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
第五部分：第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精练）
一、单选题
1．（2021·全国·高二单元测试）已知a ≥＋lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为( )
A．1 B．e-2 C． D．0
【答案】B
详解：由题可得：令，可得函数在递减，在递增，又所以函数的最大值为e-2，故，选B.
2．（2021·陕西·西安市第八十三中学高二期末（理））设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
试题分析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，
即在上单调递减，在上单调递增，
又∵，，∴只需，
即实数的取值范围是，故选D.
3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知函数，若，成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，得，同时除以得：，使该不等式成立．设，，当时，，所以在为减函数，所以，由得，即，因为，所以，，即a的取值范围是.
故选：D.
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数的取值范围为.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，1] B．[，] C．[，] D．[，2]
【答案】B
当x∈[0，]时，y=﹣x，值域是[0，]；
x∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣]，
∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]≠，
若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]=，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即a＜，或a＞．
∴a的取值范围是[，]，
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：不妨设，
，，
，即，，
故，
令，
，，
故在上是减函数，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极大值同时也是最大值，
此时，即的最大值为，
故选：．
7．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]
【答案】B
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0
8．（2022·安徽安庆·二模（理））若存在两个正实数使得等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由得，令，则，，
设，则，
时，，递增，，，递减，时．
时，，
所以的取值范围是，即的取值范围是．
故选：D．
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a的取值范围为________.
【答案】
函数h(x)＝ln x－ax2－2x，则 ，
因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，有解，
令，而当x∈[1,4]时，令 ，即为 ，
此时(此时x＝1)，所以a>－1，
又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
故答案为：
10．（2022·全国·高二）若关于的不等式在有解，则实数的取值范围是_________________.
【答案】
依题意关于的不等式在有解，
，
构造函数，
则只需.
，
所以在区间递减，在区间递增，
所以.
所以的取值范围是.
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
，，使得成立等价于在上，
．
易得，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．
故答案为：
12．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（理））已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是__________．
【答案】
对函数f(x)求导可得：，
令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：
x
0
1
f′(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
−4
单调递增
−3
所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数．
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[−4,−3].
对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2−a2).
因为a⩾1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1−a2)⩽0，
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数，
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]，
又g(1)=1−2a−3a2,g(0)=−2a，
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1−2a−3a2,−2a]，
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[−4,−3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，
则[1−2a−3a2,−2a]⊇[−4,−3],即，
解①式得a⩾1或a⩽−，
解②式得a⩽，
又a⩾1,故a的取值范围内是.
三、解答题
13．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
因为，所以，
所以．又，
所以所求切线方程为，即．
(2)
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为关于的不等式有实数解，所以，
故的取值范围是．
14．（2022·重庆长寿·高三期末）已知函数，．
(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；
(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，单调递增为，单调递减为
(2)存在，的取值范围是
(1)
，依题意，
，得m＝－1，n＝2，
∴，令，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是，
∴函数的单调递增为，单调递减为．
(2)
当n＝2时，，
令，得，又函数的定义域是，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
即函数在上单调递减，
又，令，得0＜x＜e，∴在上单调递增．
当时，不等式有解，
等价于，即，得，．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是．
15．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知函数.
（1）设函数，求函数的极值；
（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，极大值为，无极小值；当时，无极值；（2）或.
（1）依题意，定义域为，
∴，
①当，即时，
令，∵，∴，
此时，在区间上单调递增，
令，得.
此时，在区间上单调递减.
②当，即时，恒成立，
在区间上单调递减.
综上，当时，
在处取得极大值，无极小值；
当时，在区间上无极值.
（2）依题意知，在上存在一点，使得成立，
即在上存在一点，使得，
故函数在上，有.
由（1）可知，①当，
即时，在上单调递增，
∴，∴，
∵，∴.
②当，或，
即时，在上单调递减，
∴，∴.
③当，即时，
由（2）可知，在处取得极大值也是区间上的最大值，
即，
∵，∴在上恒成立，
此时不存在使成立.
综上可得，所求的取值范围是或.
16．（2021·河北邢台·高二阶段练习）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，，求的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
（1）．
在和上，，单调递增．
在上，，单调递减．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因为，，，
所以解得．
故的取值范围是．
17．（2021·重庆市万州清泉中学高二阶段练习）已知函数，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，使得，求实数a的取值范围.
【答案】（1）最大值为1，最小值为；（2）a≥-4.
解：（1），
令，则.
得
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因此在区间上的最大值为1，最小值为. .
（2）依题意知.
∵
∴，∴在[1，2]上是减函数，
∴
因此，则
第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
高频考点五：值域法解决双参等式问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，
设，，∵，∴，
∴在上恒为增函数，∴，∴，
故选：B.
2．（2022·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意：
，令，
则，
令，
则，易知单调递增，
，所以单调递增，
故，故，
则在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，
故选：B.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
函数的定义域为，
.
令，得或（舍）.
当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在，使得不等式成立，
所以，
所以实数m的最小值为1.
故选：C
4．（2021·广东·高三专题练习）已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为
A．4 B．
C． D．
【答案】A
试题分析：，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A.
考点：函数的图象和性质.
【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法
1．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为，所以，
在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，
令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，
，故实数的取值范围为．
故选：D
2．（2022·河南焦作·二模（文））已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，，
所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增，因为，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A
【点睛】
恒（能）成立求参数的取值范围问题常见思路：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数.
(1)若，求函数的极小值.
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)1；(2).
(1)
当时，则，令，得．
时，函数的单调递增区间为，
时，函数的单调递减区间为；
所以函数的极小值为.
(2)
由题设，在上，
设，则，显然当时恒成立，
所以在单调递增，则，
综上，，故．
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值
(2)
(1)
解：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数的极大值为，无极小值；
(2)
解：若存在，使不等式成立，
则，即，
则问题转化为，
令，，
，
当时，，当时，，
所以函数在递增，在上递减，
所以，
所以.
5．（2022·江苏省天一中学高二期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(2)
(1)
当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
(2)
因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
6．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）己知函数.
(1)当时，求的单调区间.
(2)存在，使得成立，求整数的最小值.
【答案】(1)增区间为，无单减区间(2)
(1)
解：当时，，该函数的定义域为，
则，当且仅当时，等号成立，
故函数的增区间为，无单减区间.
(2)
解：存在，使得成立，即，
令，其中，则，
，
令，则，
令，对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
即对任意的恒成立，则函数为增函数.
因为，，
所以存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，，
设，则，
令，则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
即对任意的恒成立，故函数在为增函数，
故，即，即，
因为为整数，所以整数的最小值为.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
高频考点二：分类讨论法
1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
已知函数，定义域为，
，
①当时，，
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，函数在单调递增；
③当时，，
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
若存在，使得成立，即使得.
由（1），可知当时，在上单调递增，，
不满足；
当时，
x
-
0
+
递减
极小值
递增
，所以，即，
令，∴，
∴在上单调递减，
又∵，由，得.
综上，实数a的取值范围为.
2．（2022·安徽马鞍山·一模（文））已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)
(1)
若时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题意可知，即求成立的的取值范围，
因为，，所以，
所以（当且仅当时取等号），
即，即求对任意成立的的取值范围，
当时，，此时在上单调递增，
且有，不满足；
当时，易知，显然成立；
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)在单调递减；在上单调递增；(2).
(1)
函数的定义域为，
由可得，
由可得，由可得，
所以在单调递减；在上单调递增；
(2)
由题意得，且，
当时，因为时，，所以在上单调递减，
又因为，故在上不可能恒成立；
当时，令，
则，
所以在上单调递增，则，
①当，即时，在上单调递增，
所以，故在上恒成立；
②当，即时，，，
故存在在使得，
此时函数在上单调递减，又，
故在上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述，的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数在时取极值，求的单调区间；
（2）若当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为；（2）
（1），
因为函数在时取极值，所以，
可得：，所以，
，
由可得：或；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在时取极大值，符合题意；
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
（2），
若当时，可得对于恒成立，
令，只需，，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
，所以不成立
当时，由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以只需，解得：，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
所以，所以恒成立，所以符合题意，
综上所述：，
所以实数的取值范围是
5．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
当时，,定义域为R，.
所以，.
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，
即.
(2)
不等式可化为：，
即存在，使得不等式成立.
构造函数，则.
①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；
②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；
③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.
综上所述：m的取值范围为：.
高频考点三：等价转化法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由，得，即，
记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，记，，
，
，，，
时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知，存在唯一整数使得点在直线的下方，
，时，时，即在上递减，在上递增，，
直线恒过定点且斜率为，，如图：
又，，，于是有，符合题意的唯一整数为0，
观察图形得，，即，从而得，
所以的取值范围是
故选：D
3．（2022·江苏南通·高二期末）设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
由，得，
令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
由于存在，成立，则
故答案为：
4．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）已知函数（）．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
（1）．
当时，，∴在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．
∵当时，，∴有解，
令，，则．
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数的取值范围．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
解：（1）令，即，则，
函数与有公共点，即有解.
令，则.
令，
当时，，所以，当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以且当时，
所以.
（2）不等式恒成立,即恒成立.
则时，成立，解得，
由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意.
当时，令，且在上单调递增.
又，可知存在唯一的正数，使得，
即，
则在上单调递减，在上单调递增.所以，
即当时，不等式成立.
故整数的最小值为
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.
（1）函数，定义域为，
，
当时，令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
函数的极小值为，函数的极大值为.
（2）令，
在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.
由得：，
，，又，，
当时，；当时，，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，此时不成立，
②当，即时，在上单调递减，；
由可得：，
，；
综上所述：实数的取值范围为.
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
存在，，使得成立，等价于，，使得成立．因为，∴函数在上单调递增，上单调递减，∴时，函数取得极小值即最小值，所以
．，可得函数在上单调递减，∴．
∴．因此实数a的取值范围是．
故答案为：．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______
【答案】
对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为：
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递减，
所以存在，使成立，则，
即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.
【答案】
若对，，，，恒有成立，
只需在，上，即可.
，
，，
在，，，，
故与，是单调递增区间.
在，，
故，是单调递减区间.
因此的极小值为又，
所以
所以，
解得的范围为.
4．（2022·上海·高三专题练习）已知两函数，，其中为实数.
（1）对任意，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
（1）依题意，，
令，则对任意，都有成立，等价于对任意，都有成立，
，而，则当或时，，当时，，
因此，在和上都单调递减，在上单调递增，当时，取极小值，当时，取极大值，
而，，于是得当时，，，
所以的取值范围是；
(2)由(1)知，，，，
存在，使成立，等价于存在，有成立，则，
所以的取值范围是；
(3)当时，，当时，，
当时，，当或时，，当时，，
则在和上都是递增的，在上递减，而，，从而得当时，，
对任意，都有，等价于在的最大值不大于在上的最小值，
即，解得，
所以的取值范围是.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;
（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
（1）设，
则，
在区间上，，，
所以当时，，单调递减，
且，
故时，，
所以，
所以在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方．
（2）由，得，
当时，，
所以，
．
存在，，使成立等价于，
即，
，
故满足条件的最大整数为4．
6．（2022·重庆南开中学高二期末）设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
(1)
,
,
①当时，恒成立，
在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当吋，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当吋，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
(2)
由题意可知：
在单调递减，单调递增
由（1）可知：
①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，
则应（舍）
③当时，，
则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解
综上，.
7．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
，
①当时，由于，故，，
所以的单调递增区间为；
②当时，由，得，
在区间上，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
由题目知，只需要即可
又因为，所以只需要即可
即等价于恒成立，
由变量分离可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在为减函数，为增函数，
所以，所以.
高频考点五：值域法解决双参等式问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．
C． D．
【答案】A
，
所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
2．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．
【答案】
由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
3．（2022·上海长宁·高一期末）已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
①当，时，，，
则在单调递减，不满足题意（舍）；
②当，时，，
当时，，在单调递减，
且,；
当时，由，得，
当，即时，，则恒成立，
则，不满足题意（舍）；
当，即时，，则在单调递增，
在单调递减，且对于任意，，
则满足存在相异的实数，使得成立，
所以.
故答案为：.
4．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2).
(1)
函数的定义域为，．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)
，
又，则．
令，即方程在上有解．
令，，
则，．，
当时，，在上单调递减，
又，则在上恒成立，不合题意；
当时，，令，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且，所以．
当时，，
当时，；
则时，，
而．
令，则，
令，，
则在上单调递减，，
则在上单调递减，，即，
故存在，使得，故满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
【答案】[－2，0].
由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，
则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，
所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
6．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知函数，，.
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
当时，，
由，即
当时，不符合题意
当时，则
当时，则
综上所述：
(2)
由题可知：，
所以在恒成立，
则且在恒成立，
由 ，所以
当时，；当时，
所以在单调递减，在单调递减
所以当时，；当时，
所以的最小值为
又，所以，
当时，；当时，
所以在单调递减，在单调递减
所以当时，；当时，
所以函数在的最大值为3
所以且，即
7．（2021·吉林吉林·高三阶段练习（理））已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2），，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.
解：（1）因为，所以，且定义域为，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
-
+
-
极小值
极大值
因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为.
（2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以，
即在上，因为，所以，，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又，
所以的取值范围为.
8．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数，，若，则的值域为____ ；若对，，使成立，则c的取值范围是__________.
【答案】
解：因为，所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上最大值为，
当时，且，
所以函数值域为，
由，
当时，，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为，
因为对，，使成立，
所以，
所以，解得，
所以c的取值范围为
故答案为：；
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
第五部分：第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精练）
一、单选题
1．（2021·全国·高二单元测试）已知a ≥＋lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为( )
A．1 B．e-2 C． D．0
【答案】B
详解：由题可得：令，可得函数在递减，在递增，又所以函数的最大值为e-2，故，选B.
2．（2021·陕西·西安市第八十三中学高二期末（理））设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
试题分析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，
即在上单调递减，在上单调递增，
又∵，，∴只需，
即实数的取值范围是，故选D.
3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知函数，若，成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，得，同时除以得：，使该不等式成立．设，，当时，，所以在为减函数，所以，由得，即，因为，所以，，即a的取值范围是.
故选：D.
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数的取值范围为.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，1] B．[，] C．[，] D．[，2]
【答案】B
当x∈[0，]时，y=﹣x，值域是[0，]；
x∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣]，
∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]≠，
若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]=，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即a＜，或a＞．
∴a的取值范围是[，]，
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：不妨设，
，，
，即，，
故，
令，
，，
故在上是减函数，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极大值同时也是最大值，
此时，即的最大值为，
故选：．
7．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]
【答案】B
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0
8．（2022·安徽安庆·二模（理））若存在两个正实数使得等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由得，令，则，，
设，则，
时，，递增，，，递减，时．
时，，
所以的取值范围是，即的取值范围是．
故选：D．
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a的取值范围为________.
【答案】
函数h(x)＝ln x－ax2－2x，则 ，
因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，有解，
令，而当x∈[1,4]时，令 ，即为 ，
此时(此时x＝1)，所以a>－1，
又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
故答案为：
10．（2022·全国·高二）若关于的不等式在有解，则实数的取值范围是_________________.
【答案】
依题意关于的不等式在有解，
，
构造函数，
则只需.
，
所以在区间递减，在区间递增，
所以.
所以的取值范围是.
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
，，使得成立等价于在上，
．
易得，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．
故答案为：
12．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（理））已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是__________．
【答案】
对函数f(x)求导可得：，
令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：
x
0
1
f′(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
−4
单调递增
−3
所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数．
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[−4,−3].
对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2−a2).
因为a⩾1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1−a2)⩽0，
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数，
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]，
又g(1)=1−2a−3a2,g(0)=−2a，
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1−2a−3a2,−2a]，
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[−4,−3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，
则[1−2a−3a2,−2a]⊇[−4,−3],即，
解①式得a⩾1或a⩽−，
解②式得a⩽，
又a⩾1,故a的取值范围内是.
三、解答题
13．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
因为，所以，
所以．又，
所以所求切线方程为，即．
(2)
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为关于的不等式有实数解，所以，
故的取值范围是．
14．（2022·重庆长寿·高三期末）已知函数，．
(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；
(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，单调递增为，单调递减为
(2)存在，的取值范围是
(1)
，依题意，
，得m＝－1，n＝2，
∴，令，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是，
∴函数的单调递增为，单调递减为．
(2)
当n＝2时，，
令，得，又函数的定义域是，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
即函数在上单调递减，
又，令，得0＜x＜e，∴在上单调递增．
当时，不等式有解，
等价于，即，得，．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是．
15．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知函数.
（1）设函数，求函数的极值；
（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，极大值为，无极小值；当时，无极值；（2）或.
（1）依题意，定义域为，
∴，
①当，即时，
令，∵，∴，
此时，在区间上单调递增，
令，得.
此时，在区间上单调递减.
②当，即时，恒成立，
在区间上单调递减.
综上，当时，
在处取得极大值，无极小值；
当时，在区间上无极值.
（2）依题意知，在上存在一点，使得成立，
即在上存在一点，使得，
故函数在上，有.
由（1）可知，①当，
即时，在上单调递增，
∴，∴，
∵，∴.
②当，或，
即时，在上单调递减，
∴，∴.
③当，即时，
由（2）可知，在处取得极大值也是区间上的最大值，
即，
∵，∴在上恒成立，
此时不存在使成立.
综上可得，所求的取值范围是或.
16．（2021·河北邢台·高二阶段练习）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，，求的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
（1）．
在和上，，单调递增．
在上，，单调递减．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因为，，，
所以解得．
故的取值范围是．
17．（2021·重庆市万州清泉中学高二阶段练习）已知函数，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，使得，求实数a的取值范围.
【答案】（1）最大值为1，最小值为；（2）a≥-4.
解：（1），
令，则.
得
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因此在区间上的最大值为1，最小值为. .
（2）依题意知.
∵
∴，∴在[1，2]上是减函数，
∴
因此，则
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