第13讲 第八章 平面解析几何（测）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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1．（2022·陕西渭南·高一期末）如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C.
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（ ）
A．​或​B．​C．​或​D．​
【答案】A
由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造饮就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
双曲线的渐近线方程为，下焦点为，
因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
所以，
因为焦距为，所以，
所以，
所以
所以双曲线的渐近线方程，
故选：B
4．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A
5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【答案】B
圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，因为，所以，即圆和圆相交，则同时与圆和圆相切的直线有2条.
故选：B
6．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
设,则,.
由椭圆的定义可知,所以,所以,.
在△ABF1中,.
所以在△AF1F2中,,
即整理可得：,
所以
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）圆（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
【答案】ABC
将圆的一般方程化为圆的标准方程，
可得，
所以圆心的坐标为，
圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心坐标，所以A选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以B选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以C选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以D选项不正确.
故选：ABC.
10．（2022·全国·高一）直线与圆相交于A，B两点，则线段的长度可能为（ ）
A．B．C．12D．14
【答案】BC
直线过圆C内一定点，当直线经过圆C的圆心时，有最大值12；当为线段中点时，有最小值，所以．故选：BC．
11．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
解：，
，，
对于A：为等比数列，
则 ，
，不满足条件，故错误；
对于B：,
,
即解得或（舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且，
即解得，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，
即四边形的内切圆的半径为，
解得（舍去）或
，故D正确.
故选：BD
12．（2022·云南昆明·高二期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（ ）
A．直的斜率为B．
C．D．直线与的倾斜角互补
【答案】ABD
易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，即点，
因为点为线段的中点，则，则，可得，
因为点在抛物线上，则，可得，
所以，直线的方程为，即，
故直线的斜率为，A对；
联立，解得或，即点、，
易知点，所以，，，则，B对；
易知点，，，
故，C错；
，，则，
所以，直线与的倾斜角互补，D对.
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）关于直线：，：，若，则__________.
【答案】
若，则，解得.
故答案为：.
14．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线的距离的最小值为_____.
【答案】
解：设点的坐标为，其中，
则点到直线的距离
，其中，
当时，等号成立．
所以取得最小值．
故答案为：
15．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
解：由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离，
，且，
为等腰直角三角形，
，，
，，，
，，即，
离心率，
令，，则，即]，
．
故答案为：.
16．（2022·广东梅州·高二阶段练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
【答案】 ##
设点，，
∴.
抛物线的焦点为点，由题意知，，
∴.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
(2)解：设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
18．（2022·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
【答案】(1)(2)
(1)∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
(2)设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
19．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
(1)∵椭圆：的焦点坐标为，
∴，即．
∴抛物线C的方程为：．
(2)联立方程组消去x，整理得．
∴．
∴，即,
∴,
∴．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)(2)或．
(1)解：设椭圆的标准方程为，
抛物线的焦点为，
依题意，解得．
∴椭圆的标准方程为．
(2)解：由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由，消去整理得，且．
设，，∴，
由得，
∴消去得，解得 ，，
所以直线的方程为，即或．
21．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；
(1)∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，
∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），
，，则，
∴E的方程是．
(2)①证明：由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，
，
同理，
∴
对，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，
直线QK的方程为，
令，
得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
（1）由题意，得解得∴，故的方程为．
（2）由（1）知，∴直线AB的方程为，由即，设，，则，，∴．设O点到直线AB的距离为d，则．∴．
（3）设AB直线方程，设，，，，由由定比分点坐标公式：，由于A，C满足椭圆方程，故得两式作差得③，将①②代入③可得，和①进行联立，即，解得：由同理可得，∴，故．