第03讲 圆的方程 (精讲）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 圆的方程 (精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：求圆的方程

题型二：与圆有关的轨迹问题

题型三：与圆有关的最值问题

角度1：考查目标函数的几何意义求最值

角度2：利用对称性求最值

角度3：建立函数关系求最值

第四部分：高考真题感悟

知识点一：圆的定义和圆的方程

1、圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：

2、圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

3、圆的一般式方程

对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.

①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；

②当时，方程表示一个点

③当时，方程不表示任何图形

说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.

知识点二：点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

（1）几何法（优先推荐）

设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

（2）代数法

将点带入：方程内

①点在外

②点在上

③点在内

知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）已知圆的方程是，那么经过圆心的一条直线的方程是(       )

A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0

C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0

2．（2022·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．

3．（2022·重庆市石柱中学校高二阶段练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.

4．（2022·福建宁德·高二期中）已知方程表示圆，则的取值范围是____________.

5．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）经过圆的圆心且斜率为－1的直线方程为______

题型一：求圆的方程

典型例题

例题1．（2022·宁夏·银川一中高一期末）已知动圆经过点和

(1)当圆面积最小时，求圆的方程；

(2)若圆的圆心在直线上，求圆的方程.

例题2．（2022·全国·高二课时练习）求通过圆与的交点，并且过点的圆的方程．

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二课时练习）若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程．

2．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C：关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程．

3．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C经过点和坐标原点，并且圆心在直线上，求圆C的标准方程．

题型二：与圆有关的轨迹问题

典型例题

例题1．（2022·重庆一中高一期末）已知圆，平面上一动点满足：且，.

(1)求动点的轨迹方程；

例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知线段的长为2，动点到，两点的距离的平方和为10，求点的轨迹．

例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆：，动直线过点.

(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；

(2)若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.

例题4．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形的底边在轴上，顶点与顶点关于原点对称，且底边和的长分别为6和，高为3．

(1)求等腰梯形的外接圆的方程；

(2)若点的坐标为(5,2)，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．

2．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.

(1)求点的轨迹方程；

3．（2022·广东梅州·高二期末）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.

(1)求圆M的方程；

(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.

4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．

(1)求线段中点的轨迹方程；

(2)若，求线段中点的轨迹方程．

题型三：与圆有关的最值问题

角度1：考查目标函数的几何意义求最值

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）若实数，满足，求下列各式的最大值和最小值．

（1）；（2）；（3）.

同类题型归类练

1．（2020·全国·高三专题练习（理））已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：

（1）的最大值和最小值；

（2）y－x的最小值；

（3）x2＋y2的最大值和最小值．

角度2：利用对称性求最值

典型例题

例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知圆，点分别在轴和圆上.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求的最小值.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·高三专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为___________．

角度3：建立函数关系求最值

典型例题

例题1．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·辽宁·高一期末）在直角中，，为的中点，，在边上，且满足：，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

同类题型归类练

1．（2022·广东广州·高一期末）平面四边形中，，则最小值（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·福建福州·高一期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则____________；若为圆上的动点，则的最大值为____________.