第06讲 双曲线 (精讲）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第06讲 双曲线 (精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：双曲线的定义及其应用

题型二：双曲线的标准方程

题型三：双曲线的简单几何性质

角度1：渐近线

角度2：离心率

题型四：与双曲线有关的最值和范围问题

第四部分：高考真题感悟

知识点一：双曲线的定义

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3、说明

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质

知识点三：等轴双曲线

（，）当时称双曲线为等轴双曲线

①；   ②离心率；      ③两渐近线互相垂直，分别为；

④等轴双曲线的方程，；

知识点四：双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：   

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）

1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 ​， 则该双曲线的离心率为（       ）

A．​ B．​

C．​ D．​

3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ）

A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或

C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________．

5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．

题型一：双曲线的定义及其应用

典型例题

例题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．

例题2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（       ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·全国·高二专题练习）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于､两点，，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

例题4．（2022·江苏·高二）已知､是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，求的面积.

同类题型归类练

1．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，，当的周长最小时，的面积为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．12

3．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则________.

4．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.

题型二：双曲线的标准方程

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是；

(2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为；

(3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12；

(4)渐近线方程为，焦点坐标为和．

例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)，，焦点在轴上；

(2)焦点为､，经过点.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点与椭圆的左、右顶点相同，且经过椭圆的右焦点，求该双曲线的方程.

2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；

(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；

(3)经过点，.

题型三：双曲线的简单几何性质

角度1：渐近线

典型例题

例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）双曲线的离心率，则其渐近线方程为______.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为（       ）

A． B． C．或 D．或

2．（2022·北京·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线的两条渐近线的夹角为______．

角度2：离心率

典型例题

例题1．（2022·江苏南通·高二期中）若是1和4的等比中项，则曲线的离心率为（   ）

A．或 B．或 C． D．

例题2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（   ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·山东泰安·三模）已知双曲线（，）的右焦点为，点为双曲线虚轴的上端点，为双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：（），以的焦点为圆心，3为半径的圆与的渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是________________．

同类题型归类练

1．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·河南商丘·三模（理））已知双曲线：经过点，且的实轴长大于，则的离心率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知，是双曲线的左､右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

4．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.

题型四：与双曲线有关的最值和范围问题

典型例题

例题1．（2022·全国·模拟预测（文））已知点为双曲线的右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若（点为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.

例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．

同类题型归类练

1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．

3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．

4．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为___________.

1．（2022·天津·高考真题）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．

6．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．