浙教版八年级上册2.2 等腰三角形优秀习题

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专题10 等腰三角形中的分类讨论
1．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（       ）
A．3cm，5cm B．4cm，4cm
C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对
【答案】C
【分析】分5cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当长是5cm的边是底边时，腰为cm，三边为4cm，4cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是5cm的边是腰时，底边长是：13-5-5=3cm，三边为5cm，5cm，3cm，等腰三角形成立．
故另两边的长是：3cm，5cm或4cm，4cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
2．已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为
A．13 cm B．17cm
C．13cm或17cm D．10cm或13cm
【答案】B
【详解】（1）当3cm是腰长，7cm是底边时，
3+3=6<7，不能组成三角形；
（2）当7cm是腰长，3cm是底边时，
能够组成三角形，周长等于7+7+3=17cm．
所以三角形的周长为17cm．
故选B
3．若等腰三角形的两条边长分别为6cm和13cm，则它的周长为（　　）
A．26 B．32 C．26或32 D．19或26
【答案】B
【分析】分13cm为底边长和6cm为底边长两种情况，结合三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：当13cm为底边长时，则两条腰长为6cm，但6+6＜13，不构成三角形，舍去；
当6cm为底边长时，则两条腰长为13cm，满足6+13＞13，构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为6+13+13=32cm，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论思想的运用是解答的关键．
4．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是（       ）
A．72° B．36°或90° C．36° D．45°或72°
【答案】B
【分析】根据已知条件，由比先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
【详解】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝2x，分情况讨论：
当∠B＝∠C为底角时，2x＋x＋2x＝180°解得，x＝36°，顶角∠A＝x＝36°；
当∠A＝∠C为底角时，x＋x＋2x＝180°解得，x＝45°，顶角∠B＝2x＝90°．
故这个等腰三角形的顶角度数为36°或90°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
5．等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个内角的度数分别是（       ）
A．65°，65° B．50°，80°或50°，65°
C．50°，80° D．65°，65°或50°，80°
【答案】D
【分析】由等腰三角形的一个内角为50°，分两种情况讨论，当50°为等腰三角形的顶角时，当50°为等腰三角形的底角时，再结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解： 等腰三角形的一个内角为50°，
分两种情况讨论，
当50°为等腰三角形的顶角时，
等腰三角形的两个底角为：
当50°为等腰三角形的底角时，
等腰三角形的两个顶角为：
等腰三角形的另外两个内角的度数分别是或
故选：
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．
6．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为（   ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】分这个等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形的性质、三角形的外角性质即可得．
【详解】由题意和等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）如图1，这个等腰三角形为锐角三角形，
则顶角
（2）如图2，这个等腰三角形为钝角三角形，
则顶角
综上，该等腰三角形顶角的度数为或
故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
7．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（       ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
【答案】C
【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，

∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°−40°＝50°，
∴三角形的顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图2，

∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°−40°＝50°，
∵∠BAD＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°
∴三角形的顶角为130°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
8．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角是（   ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的顶角为锐角和钝角分两种情况考虑：当顶角为锐角时，由为线段的垂直平分线得到，继而可得，再利用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数；当顶角为钝角时，同理可得，继而可得，再利用三角形的内角和定理求出，再求出邻补角的度数即为顶角的度数．
【详解】解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图：

∵为的垂直平分线
∴
∵
∴；
②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图：

∵为的垂直平分线
∴
∵
∴
∴．
∴综上所述，此等腰三角形的顶角为或．
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论的数学思想．根据题意画出相应的图形是解本题的关键．画图时注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时，一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同．
9．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 50°,则这个等腰三角形顶角的度数为（   ）
A．40° B．70° C．40°或 70° D．40°或 140°
【答案】D
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【详解】当为锐角时，如图

∵∠ADE=50°，∠AED=90°，
∴∠A=40°
当为钝角时，如图

∠ADE=50°，∠DAE=40°，
∴顶角∠BAC=180°-40°=140°
故选:D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
10．在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（       ）
A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10
【答案】C
【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得①或②
解方程组①得，
根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得，
根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7；
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．
11．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（　　）

A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
【答案】D
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OD＝PD，OP＝OD，OP＝CD，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，

故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形，已知等腰三角形求其中一角的度数，灵活的根据等腰三角形的性质分类讨论确定点D的位置是求角度数的关键.
12．△ABC 中，AB＝AC，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则∠BAC（       ）
A．36°，90°，， 108° B．36°，72°，，90°
C．90°，72°，108°， D．36°，90°，108°，
【答案】A
【分析】利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．
【详解】①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD，
设∠B=x°，
则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°，
∴∠CAD=∠C=x°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
则顶角是90°；
②如图2，

AB=AC=CD，BD=AD，
设∠C=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°．
③如图3，

当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD，
设∠BAC=x°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=x°，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36，
则顶角是36°．
④如图4，

当∠BAC=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠BAC=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
则x+3x+3x=180°，
x=()°
则∠BAC=90°或108°或36°或（）°．
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．做此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
13．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为____cm．
【答案】5或3##3或5
【分析】分两种情况讨论：当5cm是等腰三角形的底边时，当5cm是等腰三角形的腰时，即可求解．
【详解】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13-5）÷2=4（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13-5×2=3（cm），能够组成三角形．
故答案为：5或3
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
14．若等腰三角形的一个内角是则它的另外两个内角的度数是__________，若等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角的度数__________．
【答案】     50°、50°或20°、80°     40°、40°
【分析】等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为180°，80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可；当底角为100°时，等腰三角形的另一个底角不能为100°，所以100°为等腰三角形的顶角，剩下两个角为底角为40°，40°．
【详解】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角是20°．
∵三角形内角和为180°，
∴100°只能为顶角，
∴剩下两个角为底角，且他们之和为80°，
∴另外两个内角的度数分别为40°，40°．
故答案是50°，50°或20°、80°；40°，40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和知识，解题的关键是若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论．
15．在等腰△ABC中，AC腰上的中线BD将△ABC的周长分为15和27两部分，则这个三角形的底边长为________．


【答案】6
【分析】根据中线的性质结合题意，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，分两种情况讨论，当AB+AD=15时，当AB+AD=27时，解出x的值即可求解．
【详解】解：∵AC腰上的中线BD，
可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
由题意得：
当AB+AD=15时，即3x=15，解得x=5，
则BC=27-x=22，
则AB=AC=10，BC=22，
∵10+10=20<22，
∴不能构成三角形，舍去，
当AB+AD=27时，即3x=27，解得x=9，
则BC=15-9=6，
则AB=AC=18，BC=6，
∵18+6=24>18,18-6=12<18，
∴能构成三角形，
∴这个三角形的底边长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．如图，是等腰三角形，平分；点是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，那么的度数是____．

【答案】40°、70°或100°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当BC=BD时，③当BC=DC时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴,
∵BP平分，
∴,
①当,即D点在D1处时，此时

；
②当BC=BD时，即D点在D2处时，此时
，
③当BC=DC时，即D点在D3处时，此时
,
综上所述的度数是40°、70°或100°，
故答案为：40°、70°或100°．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．

三、解答题
17．很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．由此，请你探究如下几个问题．
（1）如图1，在中，，，，直线交于D，求证：与都为等腰三角形；
（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；


（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．
【分析】（1）根据等边对等角，，易得∠C=72°，∠1=∠2=36°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，因此△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；
（3）只要所给的三个角中有2个角是2倍关系都可得到等腰三角形．
【详解】（1）证明：在△ABC中，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC =36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；
（2）解：如下图所示：

（3）解：如下图所示：


【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．
18．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答下列问题：

（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，小乔发现：当∠A≠36°时，一些等腰三角形也具有这样的特性，即经过等腰三角形某一顶点的一条直线可以把该等腰三角形分成两个小等腰三角形．则∠A的度数为______（写出两个答案即可）；并画出相应的具有这种特性的等腰三角形及分割线的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．
（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．
【答案】（1）见解析；（2）90°或108°或；（3）见解析
【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°则可得AD＝BD＝CB∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；
（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形．
【详解】（1）证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠C=（180°－∠A）=72°
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠1=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC=∠1+∠A=72°
∴∠BDC=∠C=72°
∴BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形
（2）如下图所示：


∴顶角∠A的度数为90°或108°或，
故答案为：90°或108°或；
（3）如图所示．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．
19．【约定】若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形；若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形；若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形；Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形．
如图1中的△ABC中，ÐC =，则△ABC 是Ⅰ类美丽三角形；
如图2中的△ABC中，ÐC =2ÐB= 2a，则△ABC是Ⅱ类美丽三角形；
如图3中的△ABC中，ÐC =2ÐB= 3a，则△ABC是Ⅲ类美丽三角形；
【结论1】美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形．
（1）请在图1、2、3 中分别画出分割线，并标出相等的角（用a表示）或相等的边．
【应用1】（2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．
【结论2】如果过一个三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形一定是美丽三角形．
【应用2】（3）如图6，如果在图4中的最短边AC上拼上一个三角形后所形成的△BCD 能被两条直线分割成三个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边为BC、底角为ÐB，设所拼三角形中与角相邻的角为a，请直接写出所有a的大小．



【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）5°或55°或130°或85°或135° 或10°或65°
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合题意，即可画出图形；
（2）根据三角形边角关系的性质，结合题意，即可画出图形；
（3）根据等腰三角形的性质，结合题意，即可得到所有a的大小．
【详解】（1）分割线如图所示：

（2）拼接的三角形如图所示：依次分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形；

（3）分割三个等腰三角形，画直线CE满足其中一个等腰三角形的底边为BC、底角为ÐB，则只要满足含角的△CDE 可分割两等腰就行，能分割两个等腰的三角形要满足三个条件中其中一个：①有角；②有一个角是另一个角的两倍（单倍角要小于）③有一个角是另一个角的三倍（单倍角要小于）
∴a的大小可为5°或55°或130°或85°或135° 或10°或65°．
【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形的性质，并结合题意分析，从而完成求解．
20．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①∠C=23°；②BC=

【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，得32-x2=52-（3+x）2，解方程即可．
(1)
解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数；

(2)
证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)
①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，
Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，
∴32-x2=52-（3+x）2，
解得，x=，
∴BC=×2+3=．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．