浙教版八年级上册2.2 等腰三角形精品同步练习题

这是一份浙教版八年级上册2.2 等腰三角形精品同步练习题，文件包含专题11多个等腰三角形求角度解析版docx、专题11多个等腰三角形求角度原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。


专题11 多个等腰三角形求角度
1．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交OB于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交OC于点，得第3条线段 ；……；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值为(　　)　

A．9 B．21 C．35 D．100
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1 AB的度数，∠A2 A1 C的度数，∠A3A2 B的度数，∠A4 A3C的度数，依此得到规律，再根据三角形外角需要小于90°即可求解．
【详解】解：由题意可知：AO= A1A，A1A= A2A1, …；
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…；
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=2∠BOC= 18°，
同理可得∠A2A1C= 27°， ∠A3A2B = 36°， ∠A4A3C = 45°，∠A5A4B= 54°，
∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，
∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，
∴最多能画9条线段；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．
2．如图，中，，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等腰三角形等边对等角得出，，利用三角形内角和定理得出，利用三角形外角性质得到，列等式求出，即可求出．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握基本知识，根据题目特点灵活进行角度的等量代换是解题的关键．
3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有糟的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，由外角性质可得∠O=25°，即可求解．
【详解】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，
∵∠DCE=∠O+∠CDO=2∠O，
∴∠DEC=2∠O，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°，
∴∠O=25°，
∴∠DCE=∠DEC=50°，
∴∠CDE=80°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，D、E为AB边上的两点，且AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为（　）

A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】B
【分析】由题意易得∠A+∠B=80°，∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，则有，，然后根据角的和差及三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝100°，
∴∠A+∠B=80°，即∠B=80°-∠A，
∵AC＝AE，BC＝BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
∴在△AEC中，，
在△BDC中，，
∴，
∴在△DEC中，；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键．
5．如图钢架中，∠A=,焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……来加固钢架.著P1A= P1P2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范围是(       )

A．15°≤ a <18°
B．15°< a ≤18°
C．18°≤ a <22.5°
D．18° < a ≤ 22.5°
【答案】C
【分析】由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.
【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF
∴∠P1P2A=∠A=
由三角形外角性质，可得∠P2P1P3=2∠A=
同理可得，∠P1P3P2=∠P2P1P3=，
∠P3P2P4=∠P3P4P2=∠A+∠P1P3P2=，
∠P4P3P5=∠P4P5P3=∠A+∠P3P4P2=，
在△P4P3P5中，∠P3P4P5=180°-2∠P4P3P5=180°-
当∠P5P4B≥90°即∠P5P4A≤90°时，不能再放钢管，
∴，解得≥18°
又∵等腰三角形底角只能是锐角，
∴＜90°，解得＜22.5
∴
故选C.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.
6．如图，已知∠MON=30°，点在射线ON上，点在射线OM上，，，，，以此类推，若，则的长为（　　）

A．6 B． C．32 D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，，，得到，由，得到的长度，进而得到，根据已知得出，，，进而得出答案．
【详解】
∵，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴
∵，∴
∴，
∴，
∴，
，
，
以此类推：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，，进而发现规律是解题关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
7．如图，在第一个中，，，在上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点为顶点的底角的度数为______．

【答案】5°##5度
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A4的度数．
【详解】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝40°；
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝，
以点A4为顶点的底角为∠A5，
∵∠A5＝＝5°．
故答案为：5°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数规律是解答本题的关键．
8．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为_______．


【答案】16
【分析】根据题目条件∠MON=30° ，∠B1A1A2=60°，根据三角形外角的性质可得∠OB1A1=30°，等腰三角形的性质可得A1O=B1A1 =1，然后证得A2O=A1O +A1A2=2，按照此规律证得边长为16．
【详解】

∵∠MON=30° ∠B1A1A2=60°
∴∠OB1A1=∠B1A1A2 -∠MON =30°
∴∠MON=∠OB1A1
∴A1O=B1A1 =1
∴A2O=A1O +A1A2=2
同理可得A2O= A2B2=2
以此类推 AO3= A3B3=4
A4O= A4B4=8
A5O= A5B5=16
∴△A5B5A6的边长是16．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°．则∠CDE是_________ °．

【答案】68
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝84°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，
∴∠ODC＝28°，
∵∠CDE＋∠ODC＝180°−∠BDE＝96°，
∴∠CDE＝96°−∠ODC＝68°．
故答案为：68．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC=α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．


【答案】15°≤α＜18°
【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．
【详解】解：∵A1A2=AA1，
∴∠A=∠A1A2A=α，
∵A1A2=A2A3，
∴∠A2A1A3=∠A2A3A1=2α，
∵A3A2=A3A4，
∴∠A3A4A2=∠A3A2A4=α+2α=3α，
∵A4A3=A4A5，
∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=α+3α=4α，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
∴6α≥90°，5α＜90°，
∴15°≤α＜18°．
故答案为：15°≤α＜18°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
11．如图，在中，，是边上的两点，，，，则的度数为______．

【答案】##80度
【分析】证得，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质求出，即可解决问题．
【详解】解：，

在和中，


，
，



故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝_________°．

【答案】67.5
【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．
【详解】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝，
∴∠B＝＝67.5°．
故答案为：67.5．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．
13．如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条P1P2、P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为_____．（结果保留整数）

【答案】12°．
【分析】设∠BAC＝x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得到∠P7P8P6与∠A之间的关系，进一步列出不等式可得解．
【详解】设∠BAC＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P6P7，
∴∠A＝∠AP2P1＝x，
∴∠P2P1P3＝2x，
∴∠P3P2P4＝3x，
…，
∠P7P8P6＝7x，
∴7x≤90°且8x＞90°，则11.25°＜∠BAC≤（）°，
故∠BAC的最大值约为12°．
故答案为：12°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，，OP平分∠MON，，过点作交OP于点，在ON上截取，使，过点作交OP于点，过点作垂足为，得正方形；在ON上继续截取，使，过点作交OP于点，过点作，垂足N为，得正方形；……以此类推，在ON上继续截取，使，过点作交OP于点，过点作，垂足为，得正方形．则正方形的面积为__________．

【答案】
【分析】延长A1B1交OM于点F，过B1作B1E⊥OM于点E，利用等腰直角三角形求得，得到，用同样的方法求得，，得出结果．
【详解】解：延长A1B1交OM于点F，过B1作B1E⊥OM于点E，


∵OP平分∠MON，A1B1⊥ON，
∴B1A1=B1E，
在直角△B1EF中，∠B1FE=45°，
∴B1F=，
∴，
∴，
，
又∵OA2=OA1+A1A2=，
用同样方法求得，
，
……
故，
故答案为：．
【点睛】本题是规律探究题，解题的关键是确定面积与正方形个数之间的变化关系．

三、解答题
15．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．

活动一、如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）
（2）设，求的度数；
活动二：如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则 ， ， ；（用含的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，则的取值范围是 ．
【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．
【分析】（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；
（3）由，得∠AA2A1=∠A2AA1=θ，从而得∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，同理得∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，∠A2AA1+θ+3θ=4θ；
（4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．
【详解】（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可，
∴小棒能无限摆下去，
故答案是：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+θ＝45°，
∵AA1＝A1A2
∴∠AA2A1＝∠BAC=θ，
∴θ＝22.5°；
（3）∵，
∴∠AA2A1=∠A2AA1=θ，
∴∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，
∵，
∴=2θ，
∴∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，
∵，
∴3θ，
∴∠A2AA1+θ+3θ=4θ，
故答案是：2θ，3θ，4θ；
（4）由第（3）题可得：5θ，6θ，
∵只能摆放5根小棒，
∴5θ＜90°且6θ≥90°，
∴15°≤θ＜18°．
故答案是：15°≤θ＜18°．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．
16．如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且=．
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）若已经摆放了3根小棒，则= ，= ，= ；（用含的式子表示）
（3）若只能摆放4根小棒，求的范围．

【答案】(1)不能；(2)；；；(3)18°≤＜22.5°．
【详解】试题分析：（1）由于小棒的长度一定，依此即可求解；
（2）根据等边对等角可得∠BAC=，=，=，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（3）求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．
试题解析：（1）小棒不能无限摆下去.
故答案为不能；
（2）∵小木棒长度都相等，
∴∠BAC=，=，=，
由三角形外角性质，=，=，=.
故答案为；；；
（3）∵只能摆放4根小木棒，
∴，
解得18°≤＜22.5°．

考点：等腰三角形的性质．
17．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．

活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【答案】（1）能；（2）22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°
【分析】（1）先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ
∴θ1＝2θ
同理可得：θ2＝3θ
θ3＝4θ．
故答案为2θ，3θ，4θ；
（4）由题意得：，
∴15°≤θ＜18°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
18．已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3

(1)当∠MB1A2＝45°时，∠MON ＝_______；
(2)若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3 ，则∠MON的最小值是_______．
【答案】(1)15°
(2)18°

【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可；
（2）由OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3 ，则OM边上不存在B3点，使得，则，再由求解即可．
(1)
解：∵OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3
∴，，
∵，，
∴，
∴∠MON=15°；
故答案为：15°；
(2)
解：∵OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3 ，
∴OM边上不存在B3点，使得，
∴ ，
同理可求出 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的性质与三角形外角的性质是解题的关键．
19．课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
【答案】（1）作图见解析；（2）20或40．
【详解】试题分析：（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．
（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验--分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．
解：（1）如图所示，

（2）如图3 ①、②作△ABC．

①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．
②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．
点睛：本题主要考查利用等腰三角形的性质进行作图.解题的关键在于作图过程中要充分利用等腰三角形的性质作图.