初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理精练

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专题14 等腰和全等
1．如图，，，且BC＝3cm，AB＝1cm，CD＝5cm，点P以每秒1cm的速度从点B开始沿射线运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒．点Q的速度为x．

(1)P在线段BC上时， cm， cm．（用含t的代数式表示）
(2)如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度x是多少？（写出求解过程）
(3)如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)t＝2，x＝1或t＝1.5，x＝或，；
(3)存在，，，；

【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可．
（2）分三种情形：①△ABP≌△QCP，②△ABP≌△PCQ，③点P在点C右侧时，有△ABP≌△PCQ，分三种情形求解即可．
（3）分三种情形：①AD=DP．②AD=AP．③PA=PD，分别构建方程即可解决问题．
（1）
解：根据题意，
∵点P以每秒1cm的速度从点B开始沿射线运动，设运动时间为t秒．
∴；；
故答案为：； ；
（2）
解：①当点P是BC的中点时，即BP=PC=1.5cm，AB=CQ=1cm时，
∵∠ABP=∠PCQ=90°，
∴△ABP≌△QCP（SAS），
∴s，
∴点Q的速度为：cm/s．
②当点P在点C的左侧，AB=CP=1cm，CQ=BP=2cm，则△ABP≌△PCQ（SAS），
∴s，cm/s．
③当点P在点C的右侧，AB＝PC=1；BP＝CQ=3+1=4，则△ABP≌△PCQ，

∴s，cm/s．
综上所述，当点P与点Q经过秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时cm/s；
当点P与点Q经过秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时cm/s；
当点P与点Q经过秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时cm/s；
（3）
解：如图②中，作AH⊥CD于H．

在Rt△ADH中，∵AH=BC=3，DH=CD-CH=CD-AB=4，
∴AD=，
∵PA=，DP=，
①当AD=PD时，
，解得t=3；
②当AD=AP时，
，解得；
③当PA=PD时，
，
解得；
综上所述，满足条件的t的值为：3或或．
【点睛】本题考查三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．如图，中，，，射线与射线关于直线对称．E是上的一点，连接交于点D．


(1)若，求证：是等腰三角形；
(2)若，连接，求的度数；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的度数为或

【分析】（1）证明∠ACD＝∠CAD＝30°，可得结论；
（2）证明△AEB≌△ADC（SAS），推出∠ABE＝∠ACD，求出∠ACD即可解决问题；
（3）过点B分别作AM和AC的垂线，垂足分别为H，G，证明△AHB≌△AGB（AAS），推出BH＝BG，AH＝AG，分两种情形：①当点E在M，H之间时，如图中的点E1，②当E值A，H之间时，如图中的E2，分别求解即可．
(1)
证明：∵，
∴．
∵射线与射线关于直线对称
∴，
∴，，
∴．
∴是等腰三角形．
(2)
解：在和中



∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
(3)
解：过B点分别作和的垂线，垂足分别为点H，G，


∵，，，
∴．
∴，．
①当点E在H，M之间时，如图中的点．
∵，，
∴．
∴，．
又∵，
∴．
②当点E在A，H之间时，如图中的点．
∵，
∴．
∴．
．
又∵，
∴．
∴．
综上所述：的度数为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE．
（1）连接AF、OE，求证AF＝OE；
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度．

【答案】（1）见解析；（2）不变，长度为
【分析】（1）由△OBF、△ABE都是等腰直角三角形，可得到△ABF与△EBO全等的条件，证明△ABF≌△EBO，即可得到AF＝OE；
（2）作ED⊥OM于点D，先证明△EBD≌△BAO，得DE＝OB，DB＝OA，再证明△DPE≌△BPF，得PB＝PDDB．
【详解】（1）证明：如图1，连接AF、OE，
∵△OBF、△ABE都是等腰直角三角形，
∴BF＝BO，BA＝BE，∠OBF＝∠ABE＝90°，
∴∠ABF＝∠EBO＝90°+∠ABO，
在△ABF和△EBO中，
，
∴△ABF≌△EBO（SAS），
∴AF＝OE．

（2）解：不变，
如图2，作ED⊥OM于点D，
∵AO⊥OM，BF⊥OM，
∴∠BDE＝∠AOB＝∠PBF＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，
在△EBD和△BAO中，
，
∴△EBD≌△BAO（AAS），
∴DE＝OB，DB＝OA，
∵OB＝BF，
∴DE＝BF，
在△DPE和△BPF中，
，
∴△DPE≌△BPF（AAS），
∴PD＝PB，
∴PBDB，
∴PB的长度不变，PB的长度为．

【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等的判定性质以及等腰三角形的性质．
4．如图，在中，，点D在BC的延长线上，且，过点B作，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．

（1）求证：．
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；
（2）连接OB，借助等腰三角形的性质证明OB=OD，∠OBC=∠ADE=45°，再证明△OBC≌△ODE，利用全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】解：（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABE=90°，
∴∠BAC=∠DBE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=∠ABC=90°，
在△ABC和△BDE中，

∴△ABC≌△BDE（ASA）；
（2）连接OB，

∵∠ABC=90°，AB=BD，O为AD的中点，
∴∠OBC=∠ADB=45°，
∴OB=OD，
∵∠BDE=90°，
∴∠OBC=∠ADE=45°，
由（1）可得△ABC≌△BDE，
∴BC=DE，
在△OBC和△ODE中，
，
∴△OBC≌△ODE（SAS），
∴OC=OE．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理等．（1）中正确得出等量关系∠A=∠DBE是解题关键；（2）中正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
5．如图，是等腰直角三角形，，，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至点，连接交于点．

（1）连接，求证：；
（2）当时，判断是什么三角形？并说明理由；
（3）在点运动过程中，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）是直角三角形，理由见解析（3）15°＜＜45°．
【分析】（1）根据SAS即可证明
（2）根据全等三角形的性质得到∠BEC=∠ACD=135°，再由△ECD是等腰直角三角形得到∠CED=45°，故可求出∠BEF=90°，故可求解；
（3）求出当△BEF是直角三角形时的值，故可求解．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°
∵将线段绕点顺时针旋转至点，
∴CD=CE，∠DCE=90°
∴∠ACD+∠DCF=∠BCE+∠DCF=90°
∴∠ACD=∠BCE
∴（SAS）
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，∠HAC=30°
∴∠ACD=180°-15°-30°=135°
∵
∴∠BEC=∠ACD=135°
∵将线段绕点顺时针旋转至点，
∴CD=CE，∠DCE=90°
∴△ECD是等腰直角三角形
∴∠CED=45°
∴∠BEF=135°-45°=90°
∴是直角三角形；
（3）由（2）得当时， 是直角三角形，此时BE⊥EF；
如图，当AF⊥BF时，∠EFB=90°
∵△ECD是等腰直角三角形，∠CED=45°
∴∠ECF=90°-45°=45°
故=∠ECF=∠ACD=45°

∵点是线段上的一个动点，故AB不能与BF垂直，
∴当是锐角三角形时，求的取值范围为15°＜＜45°．
【点睛】此题主要考查旋转的综合应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质．
6．如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）M、N同时运动多少秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由．
【答案】（1）10秒后M、N两点重合；（2）点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN；（3）M、N运动的时间为秒，理由见详解．
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10=2x，
解得：x=10；
∴10秒后M、N两点重合；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=10-2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t=102t，
解得，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-10，NB=30-2y，CM=NB，
y-10=30-2y，
解得：y=．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
7．在等腰直角三角形中，，点M为射线上一个动点．过点M作，交射线于E，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点N作交延长线于点F，连接．

（1）如图1，当点M在边上时，线段的数量关系为_______；
（2）如图2，当点M在射线上时，判断线段的数量关系并说明理由；
（3）当点M在射线上运动时，能否存在为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长．
【答案】（1）结论：EM+EF=FN．证明见解析；（2）结论：EF=EM=FN．证明见解析；（3）2或
【分析】（1）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，过点作交的延长线于，设交于．利用全等三角形的性质证明，，可得结论．
（2）如图2中，结论：．延长到，使得，连接，，过点作于，延长交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，，可得结论．
（3）分两种情形：①当点与重合时，，此时．②如图3中，当时，过点作于．证明，可得结论．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1中，延长到，使得，连接，，过点作交的延长线于，设交于．

，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
（2）如图2中，结论：．
理由：延长到，使得，连接，，过点作于，延长交的延长线于．

，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
（3）①当点与重合时，，此时．
②如图3中，当时，过点作于．

由2可知，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为2或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．已知与都是等腰直角三角形，与均为斜边．如图，B，D，F在同一直线上，过F作于点F，取，连接交于点H，连接．

（1）求证：；
（2）请判断的形状，并给予证明；
（3）请用等式表示线段的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）AM2=BD2+DF2
【分析】（1）根据AAS即可证明△AHB≌△MHF；
（2）先根据SAS证明△GAD≌△GMF，得AG=GM，再证明∠AGD+∠DGM=90°，可得△GAM是等腰直角三角形；
（3）先根据等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，及勾股定理得：AM2=2MG2，Rt△GMF中，有MG2=AB2+FG2，代入可得：AM2=2MG2=BD2+DF2．
【详解】解：（1）证明：如图1，∵MF⊥GF，
∴∠GFM=90°，
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴∠DFG=∠ABD=45°，
∴∠HFM=90°-45°=45°，
∴∠ABD=∠HFM，
∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，
∴△AHB≌△MHF；
（2）如图1，△GAM是等腰直角三角形，理由是：
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，DG=FG，
∠ADB=∠GDF=45°，
∴∠ADG=∠GFM=90°，
∵AB=FM，
∴AD=FM，
∴△GAD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，
∴∠AGD+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，
∴△GAM是等腰直角三角形；
（3）如图1，AM2=BD2+DF2，理由是：
∵△AGM是等腰直角三角形，
∴AM2=2MG2，
Rt△GMF中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴AB2=，FG2=，
∴AM2=2MG2=2（+）=BD2+DF2．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，本题运用了类比的思想解决问题，证明三角形全等是关键．
9．如图1，已知，点D是射线上的动点，延长至点E，使得，连结，过点D作，交的垂直平分线于点F，连结，探究与的关系．
下面是小明遵循老师平时说的“一般问题特殊化入手研究”的思路所做的探究活动请你根据小明的探究思路，回答下列问题．

[探究1]如图2小明先探究点D与点C重合，延长至点G，使得，连结，，发现一些全等三角形，如：等，从而发现．
请证明：．
[探究2]当点D与点C不重合时，猜想与的关系，并说明理由．
[探究3]小明由角度的关系联想到了线段之间的关系，当时，探究线段与的数量关系．
【答案】[探究1]见解析；[探究2]，理由见解析；[探究3]
【分析】[探究1]根据已知条件利用SAS可得；
[探究2] 当点D在线段上时， 延长至点G，使得，连结．可得．所以，根据已知条件可得所以，所以；当点D在线段的延长线上时， 同理可得，．
[探究3] 在中，．所以 ，即可得出结论．
【详解】解：[探究1]：证明：在和中，
∵，
∴            
[探究2]：
猜想：
理由如下：当点D在线段上时，如图2．
延长至点G，使得，连结．
在和中，
∵，
∴．
∴．
又∵F在的垂直平分线上，
∴，
∴．                  
∵，
∴，
又∵，
∴．             
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3．
同理可得，．
综上所述，．                  
[探究:3]：在中，．
∵，
∴．
【点睛】本题几何综合题主要考查了、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，解题的关键是正确做辅助线寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．
10．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：

（1）如图 1，若点 P为线段 AB 上一动点时，
①求证：△ACP≌△BCQ；
②试求线段 PA，PB，PQ 三者之间的数量关系；
（2）如图 2，若点 P 在 AB 的延长线上，求证：BQ⊥AP；
（3）若动点 P 满足,请直接写出的值．
【答案】（1）①见解析；②PA+PB=PQ；（2）见解析；（3）或．
【分析】（1）①在Rt△ABC和Rt△PCQ中，可证得∠ACP=∠BCQ ，从而证明全等；
②把PA和PB都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA，PB，PQ三者之间的数量关系；
（2）连接BQ，由（1）中①的方法，可证得结论；
（3）分点P在线段AB上和线段BA的延长线上，分别利用=，可找到PA和CD的关系，从而可找到PD和CD的关系，在Rt△CPD和Rt△ACD中，利用勾股定理可分别找到PC、AC和CD的关系，从而可求得的值．
【详解】解：（1）①∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，
∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，
∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ；
②连接BQ，

∵△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，∠CBE=∠A=45°，
∴∠PBQ=90°，
∴PB+BQ=PQ，
即PA+PB=PQ；
（2）证明：连接BQ，

∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，
∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，
∵∠ACP=∠ACB+∠BCP，
∠BCQ=∠PCQ+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ=∠A=45°，
∵∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，
∴BQ⊥AP；
（3）过点C作CD⊥AB于点D，

∵=，
∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，
①如图3，当点P在线段AB上时，
∵ =，
∴PA=AB=CD=PD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP== =CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= ==CD，
∴==；
②如图4，当点P在线段BA的延长上时，

∵ =，
∴PA=AB=CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= = =CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= ==CD，
∴==；
综上可知的值为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，注意分类思想的理解与运用．
11．如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长（直接写出结果）．

【答案】（1）8，；（2）①4或4﹣4；②或8．
【分析】（1）根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
（2）①分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得BF=，根据平行线的性质证明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=，最后利用勾股定理可得结论；
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论．
【详解】解：（1）由勾股定理得：CO＝＝＝8，
AC＝＝＝ =4；
（2）①分两种情况：
i）如图1，当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，

∴AN＝EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴AO＝OD＝4；
ii）当AO＝AE＝4时，如图2，

在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（AAS），
∴AD＝AC＝4，
∴OD＝4﹣4；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴
∴
∵CB＝10
∴BF＝
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF＝∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A＝∠DBG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠GBF，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴∠BDG＝∠BFG，
∴BD＝BF＝，
∴OD＝OB﹣BD＝6﹣＝，
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，

同理得，
∵BC＝10，
∴BF＝2，
同理得：∠BFG＝∠BDF，
∴BD＝BF＝2，∴OD＝OB+BD＝8
故答案为：或8．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理等知识解答，有难度．
12．在△ABC中，CA＝CB＝3，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PNBC时，∠ACP= ．
（2）在点P滑动的过程中，当AP长度为多少时，△ADP≌△BPC，为什么？
（3）在点P的滑动过程中，当α为何值时，△PCD的形状可以是等腰三角形，请直接写出α的度数．

【答案】（1）90°；（2）AP＝3，理由见解析；（3）α＝45°或90°或0°
【分析】（1）由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
（2）当AP=3时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA=CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α=∠APD，根据AP=BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．
【详解】解：（1）当PN∥BC时，∠α=∠NPM=30°，
又∵∠ACB=120°，
∴∠ACP=120°-30°=90°，
故答案为：90°
（2）当AP＝3时，△ADP≌△BPC
理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，
∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，
∴∠α＝∠APD，
又∵AP＝BC＝3，
∴△ADP≌△BPC（SAS）；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，
则∠PCD=120°-α，∠CPD=30°，
①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠PDC=，即120°-α=75°，
∴∠α=45°；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，
∴α=90°；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=30°，
∴∠PCD=180°-2×30°=120°，
即120°-α=120°，
∴α=0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）25°；小；（2）当DC等于2时，△ABD≌△DCE；（3）当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况．
（2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案．
（3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出．
【详解】解：（1）；
从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小；
故答案为：；小；
（2），，
．，
，
当时，，
（3），
，
①当时，，
，
此时不符合；
②当时，即，
，
；
；
③当时，，
，
；
当或时，是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
14．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．