初二数学北师大版春季班 第1讲 三角形的证明（一）--基础班 试卷

第1讲 三角形的证明（一）

知识点1  等边三角形的性质

1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；

2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；

3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.

【典例】

例1（2020春•凉州区校级期中）等边三角形的边长为6，则它的面积为（　　）

A．9 B．18 C．36a D．18

【方法总结】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，能求出高AD的长是解此题的关键．

例2（2020秋•路北区期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【方法总结】

本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形外角和内角的关系；熟练掌握并灵活运用这些知识是解决问题的关键．

例3（2020秋•西峰区期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，求∠EDC的度数．

【方法总结】

此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

【随堂练习】

1．（2020春•荔湾区月考）等边△ABC的边长是4cm，那么AB边上的高为（　　）cm．

A．2 B．6 C．3 D．

2．（2020•滨城区二模）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1度数为（　　）

A．∠1＝20° B．∠1＝60° C．∠1＝40° D．无法判断

3．（2020春•富平县期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

4．（2020秋•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．

知识点2 等边三角形的性质与判定

判定方法：

1.三个边都相等的三角形是等边三角形；

2.三个角都相等的三角形是等边三角形；

3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【典例】

例1（2020秋•南开区校级月考）如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形．

【方法总结】

本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键．

例2（2020秋•惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．

求证：（1）∠B＝∠C；

（2）△ABC是等边三角形．

【方法总结】

本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

【随堂练习】

1．（2020春•郫都区期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_________．

2．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．

知识点3 直角三角形的性质

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

【典例】

例1 （2020秋•灵山县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，ADBC．求证：∠BAC＝90°．

【方法总结】

本题考查了直角三角形的斜边中线、等腰三角形的判定与性质及三角形的内角和定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

例2（2020秋•莱州市期中）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AC＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少？

【方法总结】

此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，以及30°的直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

例3（2020秋•浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

【方法总结】

本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是得出BD＝AD．

例4（2020秋•阳东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，AM的长为15cm，求BC的长．

【方法总结】

此题主要考查含30°直角三角形的性质和勾股定理，关键是根据含30°直角三角形的性质得出MC解答．

【随堂练习】

1．（2020秋•丹江口市期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，且AD＝BD＝CD，试判断△ABC的形状．

2．（2020秋•玄武区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别是AC、BD的中点，求证：EF⊥BD．

3．（2020春•渭南期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．

4．（2020秋•香洲区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，求BC的长．

知识点4 直角三角形全等—HL

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

【典例】

例1（2020春•渌口区期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•岱岳区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．

   综合运用

1．（2020秋•青羊区校级期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝_________°．

2．（2020秋•集贤县期末）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝_________cm．

3．（2020秋•原州区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD．则DB和DE是否相等？为什么？

4．（2020•平谷区一模）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON．

5．（2020秋•高安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：

（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；

（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．

6．（2020秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．

（1）求证：ME＝MF；

（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．

7．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE．

（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．

（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．