初二数学北师大版春季班 第1讲 三角形的证明（一）--尖子班 试卷

这是一份初二数学北师大版春季班 第1讲 三角形的证明（一）--尖子班，文件包含初二数学北师大版春季班第1讲三角形的证明一--尖子班教师版docx、初二数学北师大版春季班第1讲三角形的证明一--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

第1讲 三角形的证明（一）

知识点1 等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；
2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
【典例】
例1（2020秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（　　）

A．8+23 B．6+43 C．8+43 D．6+23
【解答】解：∵△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，
∴△PMN是等边三角形，
∴∠PMN＝∠PNM＝60°，PM＝MN＝PN，
∵△MNP的周长为12，
∴MN＝PN＝PM＝4，
∵MQ⊥PN，
∴NQ＝PQ＝2，∠MQN＝90°，∠QMN=12∠PMN＝30°，
在Rt△MQN中，由勾股定理得：MQ=MN2-NQ2=42-22=23，
∵NG＝NQ，
∴∠G＝∠GQN，
∵∠G+∠GQN＝∠PNM＝60°，
∴∠G＝30°，
∵∠NMQ＝30°，
∴∠G＝∠GQN，
∴GQ＝AQ＝23，
∵MN＝4，NG＝NQ＝2，
∴△MGQ周长是MG+GQ+MQ＝（4+2）+23+23=6+43，
故选：B．
【方法总结】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的外角性质等知识点，能求出△PMN是等边三角形是解此题的关键，注意：等边三角形的三条边都相等，并且每个角都等于60°．
例2（2020秋•新化县期末）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　2n﹣1　．

【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．

【方法总结】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
例3（2020秋•湖里区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．

【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
∠EBD=∠EFC∠EDB=∠FECED=EC，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
【方法总结】
本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD＝EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，连接AO，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC，
∴12BC×2=12AB⋅OE+12AC⋅OF，即12×2=12(OE+OF)，
∴OE+OF＝2；
故选：D．
2．（2020秋•淮滨县月考）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的周长为　48　．

【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
∴△A5B5A6的周长为48，
故答案为：48．

3．（2020秋•慈溪市期中）如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，放入一张等边三角形纸片BDF，F在BC上，E在DF上．若EF＝4，FC＝3，求等边△BDF的边长．

【解答】解：如图，延长AE交BC于H，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AH⊥BC，
∴∠EHF＝90°，
∵△BDF是等边三角形，
∴∠EFH＝60°，
∴∠HEF＝30°，
∴HF=12EF＝2，
∵CF＝3，
∴CH＝5，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CH＝10，
∴BF＝BC﹣CF＝10﹣3＝7，
∴等边△BDF的边长为7，


知识点2 等边三角形的性质与判定
判定方法：
1.三个边都相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典例】
例1（2020秋•道外区期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．

（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．
由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∵AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE=12AB，
∴BD＝DE，
即△BDE为等腰三角形，
同理△DEC为等腰三角形．
∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
∴DE∥BC，
∴∠EBC＝∠DEB＝30°，
同理∠BCD＝∠EDC＝30°，
∴FB＝FC，DF＝EF．
即△DEF和△BFC都为等腰三角形．
【方法总结】
本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．

例2（2020秋•洮北区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC=12AB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE=12AB．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；

（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵∠W=∠MDBMW=DM∠WMG=∠DMB
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．



（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，∠DNG=∠HNBDN=HN∠H=∠2
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．

【方法总结】
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．

【随堂练习】
1．（2020秋•新丰县期中）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．

【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；

（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；

（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
2．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

【解答】解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．

（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．

（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
知识点3 直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
例1（2020秋•农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
【方法总结】
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例2 （2020秋•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．

【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；
（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，
∴AD＝DB，
∵AC＝EC，∠ACB＝90°，
∴AD＝DE，
∴DE＝DB．
【方法总结】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判断以及线段中垂线的性质等知识，掌握等腰三角形的判断以及线段中垂线的性质是解决问题的关键．
例3（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD=12BC．
（1）△ABC的形状为　直角三角形　．
（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；
（3）在（2）的条件下，AN＝　210　．

【解答】解：（1）结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵BD＝DC，AD=12BC，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠BAC＝90°．
故答案为直角三角形．

（2）如图，设CN＝x．

∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴AB＝AC，
∵BD＝DC，
∴AD⊥BC，
将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．
∵∠ACB＝∠ACH＝∠B＝45°，
∴∠NCH＝90°，
∵∠MAN＝45°，∠MAH＝90°，
∴∠NAM＝∠NAH＝45°，
∵NA＝NA，AM＝AH，
∴△NAM≌△NAH（SAS），
∴MN＝NH，
∵BM＝CH＝3，BC＝12，
∴CM＝12﹣3＝9，
∴MN＝NH＝9﹣x，
∵NH2＝CH2+CN2，
∴（9﹣x）2＝x2+32，
解得x＝4．
∴CN＝4．

（3）在Rt△ADN中，∵∠ADN＝90°，AD＝BD＝CD＝6，DN＝CD﹣CN＝6﹣4＝2，
∴AN=AD2+DN2=62+22=210．
故答案为210．
【方法总结】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

【随堂练习】
1．（2020秋•固始县期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠DFE的度数．
（2）若CD＝8，求DF的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DFE＝30°．
（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF，
由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝8．
又∵CE＝CF，
∴CF＝8．
∴DF＝DC+CF＝8+8＝16．
2．（2020春•雨花区校级月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，F是AB中点，∠ABC＝50°，∠CAD＝60°．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若△BCF与△ACF的周长差为3，AB＝5，AC＝8，求△ABC的周长．

【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABC＝50°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBE=12∠ABC＝25°，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+30°＝55°；
（2）∵△BCF的周长＝BC+BF+CF，△ACF的周长＝AC+AF+CF，
∴△BCF的周长﹣△ACF的周长＝BC+BF+CF﹣（AC+AF+CF）＝3，
∵F是AB中点，
∴AF＝BF，
∴BC﹣AC＝3，
∵AC＝8，
∴BC＝11，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+11+8＝24．
3．（2020秋•郫都区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．

【解答】解：（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，

∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE=12DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE=12BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；

（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF=CE2-CF2=52-42=3
知识点4 直角三角形全等—HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
【典例】
例1 （2020春•铜仁市期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．

【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB＝∠DCB
∴OB＝OC
∴△OBC是等腰三角形
【方法总结】
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
【随堂练习】
1．（2020秋•集贤县期中）如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．
求证：BC＝BE．

【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD＝EF．
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD＝BF．
∴BD﹣CD＝BF﹣EF．
即BC＝BE．

综合运用
1．（2020秋•青羊区校级期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝　36　°．

【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，
∴∠1＝36°．
故答案为36．
2．（2020秋•集贤县期末）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　3　cm．

【解答】解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD=12AC＝3cm．
故填3．
3．（2020秋•原州区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD．则DB和DE是否相等？为什么？

【解答】解：DB＝DE，理由为：
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED=12∠BCD＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC，
∴DB＝DE（等角对等边）．
4．（2020•平谷区一模）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON．

【解答】证明：∵OG平分∠MON，
∴∠MOG＝∠NOG，
∵AB⊥OG于点B．
∴∠ABO＝90°，
∵C为线段OA中点，
∴BC=12AO＝CO，
∴∠MOG＝∠CBO，
∴∠NOG＝∠CBO，
∴BC∥ON．
5．（2020秋•高安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．

【解答】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，
∴CE=12DC，
2t=12（6﹣t），
t=65；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，
CD=12CE，
6﹣t=12•2t，
t＝3．
∴当t为65或3时，△DEC为直角三角形．
6．（2020秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．

【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=12BC，MF=12BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
7．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=12BC，ME=12BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．