初二数学北师大版春季班 第1讲 三角形的证明（一）--提高班 试卷

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第1讲 三角形的证明（一）

知识点1 等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；
2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
【典例】
例1（2020秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（　　）

A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，
∵∠DAB＝∠DAC＝30°，
∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确
∴BE＝BD，故③正确，
无法得出AC＝AE，故④错误；
故选：D．
【方法总结】
本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题．
例2（2020•碑林区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD的最大值是　2+23　．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵∠ACB＝90°，
∴点C在AB为直径的圆上，
∵S△ABC=12AC×BC=12×AB×CE，
∴当CE=12AB＝2时，S△ABC有最大值，
∴AC×BC的最大值为8，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，AC＝CD，
∴∠DCH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DH=12CD，CH=32CD，
∵BD2＝DH2+BH2，AB2＝AC2+BC2＝16，
∴BD2=14CD2+（BC+32CD）2=14AC2+BC2+34AC2+3BC•AC＝16+3BC•AC，
∴BD2的最大值为16+83，
∴BD的最大值为2+23，
故答案为2+23，
【方法总结】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
例3（2020秋•恩施市期末）如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，联结CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．

【解答】解：∵在等边三角形ABC中，
∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知），
∴∠CAD=12∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质），
∴∠CAD＝30°（等量代换），
∵AD＝AC（已知），
∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角），
∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠ACD＝75°（等式的性质），
∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠E＝45°（等式的性质）．
【方法总结】
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三边相等和三线合一的性质分析．
【随堂练习】
1．（2020秋•福州期中）如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，则∠DBE的度数是（　　）

A．120°﹣α B．180°﹣2α C．2α﹣90° D．α﹣60°
【解答】解：连接CE、AE，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，
∴∠ADC＝180°﹣α，∠ADE＝α+180°﹣2α＝180°﹣α，
∴∠ADC＝∠ADE，
在△ADC和△ADE中，
AD=AD∠ADC=∠ADEDC=DE，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴AC＝AE，∠CAD＝∠EAD，
∵∠ADB＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD＝α﹣60°，
∴∠CAE＝2∠CAD＝2α﹣120°，
∴∠BAE＝60°﹣（2α﹣120°）＝180°﹣2α，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB=12（180°﹣∠BAE）=12[180°﹣（180°﹣2α）]＝α，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝α﹣60°．
故选：D．

2．（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（　　）

A．90° B．70° C．45° D．30°
【解答】解：如图，

∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，
故选：B．
3．（2020•雁塔区校级模拟）如图，AD是等边△ABC底边上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，若AB＝6，则DF长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．2
【解答】解：连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC底边上的中线，
∴BD＝DC＝3，∠DAC=12∠BAC＝30°，AD⊥BC，
由勾股定理得：AD=AB2-BD2=62-32=33，
∵AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，
∴AF＝CF，
∴∠CAD＝∠ACF＝30°，
∴∠FCD＝60°﹣30°＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴CF＝2DF＝AF，
即3DF＝AD＝33，
解得：DF=3，
故选：C．
知识点2 等边三角形的性质与判定
判定方法：
1.三个边都相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典例】
例1（2020春•太平区期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．

【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵AC=MC∠ACN=∠MCBNC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．

（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵∠CAE=∠CMFCA=CM∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【方法总结】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．
例2（2020秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

【解答】解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，（2分）
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°（3分）
∴△ODE是等边三角形；（4分）

（2）答：BD＝DE＝EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，（6分）
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴DB＝DO，（7分）
同理，EC＝EO，
∵DE＝OD＝OE，
∴BD＝DE＝EC．（8分）
【方法总结】
此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．

【随堂练习】
1．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　．

【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
2．（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．

【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
知识点3 直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
例1（2020春•新泰市期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．
求证：EF⊥BD．

【解答】证明：连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴EB＝ED=12AC，
∴△BED是等腰三角形，
∵F是BD的中点，
∴EF是BD中线，
∴EF⊥DB．

【方法总结】
此题主要考查了直角三角形斜边的中线，以及等腰三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．等腰三角形三线合一．
例2（2020秋•滨湖区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OB=12AC，OD=12AC，
∴OB＝OD；

（2）解：∵OB＝6，OD＝OB，
∴OD＝6，
∵∠ADC＝90°，O为AC的中点，
∴AC＝2OD＝12，
∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，
∴OA=12AC＝6，
即OA＝AD＝OD＝6，
∴△AOD的周长是OA+AD+OD＝6+6+6＝18．
【方法总结】
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能根据直角三角形斜边上的中线性质求出OD＝OB是解此题的关键．

例3 （2020秋•阆中市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．

【解答】解：∵AB＝AC，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝8，∠B＝30°，
∴AD＝4，
∴DF＝4．
【方法总结】
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
例4 （2020秋•齐河县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AC＝2，求DE的长．

【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD=12AB，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝30°，∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝60°，
∴∠A＝∠ADC，
∴AC＝DC，
∵CE垂直于AB于点E，
∴AE＝ED；

（2）解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE=12AC，
∵AC＝2，AE＝DE，
∴DE＝AE＝1．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•市中区期末）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，点E在AB的延长线上，∠E＝45°，若AB＝8，求BE的长．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC=12AB=12×8＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
又∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BD=12BC=12×4＝2，
在Rt△BCD中，CD=BC2-BD2=42-22=23，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴DE＝CD＝23，
∴BE＝DE﹣BD＝23-2．
2．（2020秋•泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．
（1）判断△ADE的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）结论：△ADE是等边三角形．
理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，∠AED＝∠C+∠CAE＝60°，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形．

（2）∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2AD，
∵AD＝DE，
∴BE＝DE，
同法可证，DE＝CD，
∴BE＝DE＝CD，
∴S△ABC＝3S△ADE＝3×34×22＝33．
3．（2020秋•拱墅区月考）如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．
（1）求证：BD＝2AC；
（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？

【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，
∴EA=12BD＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∴BD＝2AC；
（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，
由勾股定理得，AB=BD2-AD2=132-52=12，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．
知识点4 直角三角形全等—HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
【典例】
例1（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．

【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
【方法总结】
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
【随堂练习】
1．（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．

【解答】解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
又∵AB＝CD，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE；

（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°．
又∵AB＝CD，AD＝DE，
∴△ABD≌△DCE．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠DCE＝90°．
BD⊥CE．

综合运用
1．（2020秋•青羊区校级期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝　36　°．

【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，
∴∠1＝36°．
故答案为36．
2．（2020秋•集贤县期末）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　3　cm．

【解答】解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD=12AC＝3cm．
故填3．
3．（2020秋•原州区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD．则DB和DE是否相等？为什么？

【解答】解：DB＝DE，理由为：
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED=12∠BCD＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC，
∴DB＝DE（等角对等边）．
4．（2020•平谷区一模）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON．

【解答】证明：∵OG平分∠MON，
∴∠MOG＝∠NOG，
∵AB⊥OG于点B．
∴∠ABO＝90°，
∵C为线段OA中点，
∴BC=12AO＝CO，
∴∠MOG＝∠CBO，
∴∠NOG＝∠CBO，
∴BC∥ON．
5．（2020秋•高安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．

【解答】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，
∴CE=12DC，
2t=12（6﹣t），
t=65；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，
CD=12CE，
6﹣t=12•2t，
t＝3．
∴当t为65或3时，△DEC为直角三角形．
6．（2020秋•江都区期中）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．

【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=12BC，MF=12BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
7．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=12BC，ME=12BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．