初中数学北师大版八年级下册1 因式分解复习练习题

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第8讲  因式分解（二） 知识点1 十字相乘法对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b．那么可以直接写成结果：．【典例】例1 （2020秋•香坊区校级期中）如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（　　）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，则k＝1．故选：C．【方法总结】本题考查了因式分解的定义，属于基础题，注意掌握对应相等的应用．例2（2020秋•南岗区期中）如果x2+kx+6＝（x+2）（x+3），则k＝（　　）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：由题意得，x2+kx+6＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，则可得k＝5．故选：D．【方法总结】本题考查了因式分解的定义，属于基础题，注意掌握对应相等的应用．例3 （2020春•江阴市期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）．请你分析一下a、b的值，并写出正确的因式分解过程．【解答】解：∵甲看错了b，所以a正确，∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，∴a＝6，∵因为乙看错了a，所以b正确∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，∴b＝9，∴x2+6x+9＝（x+3）2．【方法总结】此题主要考查了分组分解法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．【随堂练习】1．（2020•淄川区二模）把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（　　）A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，则C＝3．故选：B．2．（2020春•铜仁市期末）多项式x2+mx+6可因式分解为（x﹣2）（x﹣3），则m的值为（　　）A．6 B．±5 C．5 D．﹣5【解答】解：根据题意得：x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，则m的值为﹣5．故选：D．3．（2020春•马鞍山期末）若关于x的二次三项式x2﹣4x+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则b的值为（　　）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3【解答】解：由题意得：x2﹣4x+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴b＝3，故选：B．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】例1（2020•雨花区校级模拟）因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝　（m﹣y）（m+x）　．【解答】解：原式＝（m2﹣my）+（mx﹣yx）＝m（m﹣y）+x（m﹣y）＝（m﹣y）（m+x），故答案为：（m﹣y）（m+x）．【方法总结】此题考查了因式分解﹣分组分解法，对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．本题采用的是两两分组法．例2（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　（x﹣2y）（x+y﹣2）　．【解答】解：原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．故答案为：（x﹣2y）（x+y﹣2）．【方法总结】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式．【随堂练习】1．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝　（y+x+1）（y﹣x﹣1）　．【解答】解：y2﹣x2﹣2x﹣1＝y2﹣（x2+2x+1）＝y2﹣（x+1）2＝（y+x+1）（y﹣x﹣1）．故答案为：（y+x+1）（y﹣x﹣1）．2．（2020春•温江区校级月考）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）　．【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2＝（m﹣1）2﹣n2＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．知识点3  因式分解的综合应用【典例】例1（2020春•西湖区校级期中）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　4　．【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，∴m3n+mn3+2m2n2＝mn（m2+2mn+n2）＝mn（m+n）2＝1×22＝4．故答案为：4．【方法总结】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法以及完全平方公式是解答本题的关键．例2（2020春•蚌埠期末）已知a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011、b＝2012x+2012、c＝2012x+2013时，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选：D．【方法总结】此题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．【随堂练习】1．（2020秋•渝中区校级月考）已知x+y，xy，则x2y+xy2的值为（　　）A．2 B．9 C．3 D．6【解答】解：∵x+y，xy，∴x2y+xy2＝xy（x+y）．故选：C．2．（2020春•扬中市期中）已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，所求式（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，＝3．故选：C．3．（2020春•城固县期末）先分解因式，再求值：已知5x+y＝2，5y﹣3x＝3，求3（x+3y）2﹣12（2x﹣y）2的值．【解答】解：原式＝3[（x+3y）2﹣4（2x﹣y）2]＝3[（x+3y）+2（2x﹣y）][（x+3y）﹣2（2x﹣y）]＝3（x+3y+4x﹣2y）（x+3y﹣4x+2y）＝3（5x+y）（﹣3x+5y），当5x+y＝2，5y﹣3x＝3时，原式＝3×2×3＝18．    综合运用1．（2020春•永定区校级期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是　﹣3　．【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，则a＝6，∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴（x+l）（x+9）＝x2+10x+9，则b＝9，故a﹣b＝6﹣9＝﹣3．故答案为：﹣3．2．（2020春•相城区期中）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求nm的值．【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n＝x2+mx﹣15，∴3n＝﹣15，n+3＝m，∴n＝﹣5，m＝﹣2，∴nm＝（﹣5）﹣2．3．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．4．（2020春•富平县期末）先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1将：将a+b看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2再将M换原，得原式＝（a+b﹣1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2．（2）（n2+3n+2）（n2+3n）+1．【解答】解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2＝[（3a+2b）+（2a﹣3b）][（3a+2b）﹣（2a+3b）]＝（5a+5b）（a﹣b）＝5（a+b）（a﹣b）； （2）设M＝n2+3n则原式＝（M+2）M+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，所以（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．5．（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12∵a2+a＝3∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a﹣4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2﹣a＝10，2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2×（10﹣20）＝﹣20； （2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1＝2x2﹣4x2﹣8x+1＝﹣2x2﹣8x+1＝﹣2（x2+4x）+1＝﹣2+1＝﹣1．