北师大版第四章 因式分解1 因式分解课时作业

第8讲  因式分解（二）

 知识点1 十字相乘法

对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b．那么可以直接写成结果：．

【典例】

例1（2020秋•潮阳区期末）分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（　　）

A．（x﹣2）（x+3） B．（x+2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）

【解答】解：因为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，

由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b＝6，

乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a＝﹣1，

所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6＝（x﹣3）（x+2）

故选：B．

【方法总结】

本题考查了多项式乘法和因式分解的关系及因式分解的十字相乘法．解决本题的关键是利用乘法和因式分解的关系确定多项式中a、b的值．

例2 （2020春•宁德期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10

【解答】解：∵多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），

∴m＝﹣7+3＝﹣4．

故选：B．

【方法总结】

此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解题关键．

例3（2020秋•皇姑区校级月考）阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形．

由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，

例如：将式子x2+3x+2分解因式．

分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．

解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题：

（1）解方程：x2+7x﹣18＝0；

（2）若x2﹣6xy+8y2＝0，则　或　．

（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是　7或﹣7或2或﹣2　．

【解答】解：（1）∵x2+7x﹣18＝0，

∴（x﹣2）（x+9）＝0，

∴x﹣2＝0或x+9＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣9；

（2）∵x2﹣6xy+8y2＝0，

∴（x﹣2y）（x﹣4y）＝0，

∴x﹣2y＝0或x﹣4y＝0，

∴x＝2y或x＝4y，

∴或．

故答案为：或．

（3）∵﹣8＝﹣1×8；﹣8＝﹣8×1；﹣8＝﹣2×4；﹣8＝﹣4×2；

∴整数p的所有可能的值是：﹣1+8＝7；﹣8+1＝﹣7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2．

故答案为：7或﹣7或2或﹣2．

【方法总结】

本题考查了因式分解的十字相乘法在解一元二次方程及整式或分式化简求值中的应用，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•北碚区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　（x﹣6）（x+2）　．

【解答】解：因式分解x2+ax+b时，

∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），

∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，

又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），

∴a＝﹣8+4＝﹣4，

∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，

因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），

故答案为：（x﹣6）（x+2）．

2．（2020秋•渝北区校级月考）如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），则（p﹣q）2＝　4　．

【解答】解：∵（x+q）（x﹣2）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，

∴p＝q﹣2，

﹣2q＝﹣6，

解得p＝1，q＝3，

∴（p﹣q）2＝（1﹣3）2＝4．

故答案是：4．

3．（2020春•沙坪坝区期末）若x2+x+m＝（x﹣2）（x+n），则m+n＝　﹣3　．

【解答】解：∵x2+x+m＝（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，

∴n﹣2＝1，m＝﹣2n，

解得n＝3，m＝﹣2×3＝﹣6，

∴m+n＝﹣6+3＝﹣3．

故答案为﹣3．

知识点2 分组分解法

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.

【典例】

例1（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．

【解答】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y

＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）

＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）

＝（x+3y）（x2﹣4）

＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．

【方法总结】

本题考查了分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．

例2（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．

【解答】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）

＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）

＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）

＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．

【方法总结】

本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法、提取公因式法和公式法是解决本题的关键．解决本题亦可第一与第四、第二与第三项分组．

【随堂练习】

1．（2020秋•嘉定区期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．

【解答】解：原式＝（x2﹣y2）﹣（2x+2y）

＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）

＝（x+y）（x﹣y﹣2）．

2．（2020秋•渝中区校级月考）因式分解：

（1）x3﹣6x2y+9xy2；

（2）x2﹣y2﹣ax﹣ay．

【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣6xy+9y2）＝x（x﹣3y）2；

（2）原式＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y）＝（x+y）（x﹣y﹣a）．

知识点3  因式分解的综合应用

【典例】

例1（2020春•锦江区校级期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．

（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（2m+n）（m+2n）　；

（2）若每块小长方形的面积为8cm2，四个正方形的面积和为66cm2，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和　42cm　．

【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：

 2m2+5mn+2n2

＝（2m+n）（m+2n）；

故答案为：（2m+n）（m+2n）；

（2）若每块小矩形的面积为8cm2，四个正方形的面积和为66cm2，

则mn＝8cm2，2m2+2n2＝66cm2，

∴m2+n2＝33，

∴（m+n）2＝33+8×2＝49，

∴m+n＝7，

∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42（cm），

∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．

故答案为：42cm．

【方法总结】

本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．

例2（2020•锦江区校级模拟）已知m﹣n﹣1＝0，则2m2﹣4mn+2n2﹣1的值是　1　．

【解答】解：∵2m2﹣4mn+2n2﹣1＝2（m﹣n）2﹣1，

∵m﹣n﹣1＝0，

∴m﹣n＝1，

∴2m2﹣4mn+2n2﹣1＝2×12﹣1＝1，

故答案为：1．

【方法总结】

本题考查了因式分解的具体应用，解本题的关键是把所求代数式化简，然后把已知条件代入即可得出答案．

【随堂练习】

1．（2020秋•西湖区校级月考）（1）分解因式：

①4x2﹣12xy+9y2＝　（2x﹣3y）2　；

②y2+4y+4＝　（y+2）2　．

（2）根据以上两式，试求x、y各取何值时，4x2﹣12xy+10y2+4y+9的值最小？并求此最小值．

【解答】解：（1）①4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2；

②y2+4y+4＝（y+2）2，

故答案为①（2x﹣3y）2；②（y+2）2；

（2）4x2﹣12xy+10y2+4y+9

＝4x2﹣12xy+9y2+y2+4y+4+5

＝（2x﹣3y）2+（y+2）2+5，

∵（2x﹣3y）2≥0，（y+2）2≥0，

∴当2x﹣3y＝0，y+2＝0时，即x＝﹣3，y＝﹣2时，4x2﹣12xy+10y2+4y+9有最小值5．

2．（2020春•渭滨区期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形（a＞b），图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　；

（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用（1）中的公式，求a、b的值．

【解答】解：（1）由图1可得阴影部分的面积＝a2﹣b2，由图2可得阴影部分的面积＝（a﹣b）（a+b），

∴可得公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（2）由題意可得：a﹣b＝3，

∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝57，

∴a+b＝19，

∴，

解得：，

∴a，b的值分別是11，8．

   综合运用

1．（2020春•永定区校级期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是　﹣3　．

【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），

∴（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，则a＝6，

∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），

∴（x+l）（x+9）＝x2+10x+9，则b＝9，

故a﹣b＝6﹣9＝﹣3．

故答案为：﹣3．

2．（2020春•相城区期中）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求nm的值．

【解答】解：∵（x+3）（x+n）

＝x2+nx+3x+3n

＝x2+（n+3）x+3n

＝x2+mx﹣15，

∴3n＝﹣15，n+3＝m，

∴n＝﹣5，m＝﹣2，

∴nm＝（﹣5）﹣2．

3．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）

【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4

＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）

＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）

＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；

方法二：x3﹣4x2+6x﹣4

＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4

＝x（x﹣2）2+2x﹣4

＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．

4．（2020春•富平县期末）先阅读下列材料，再解答下列问题

分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1

将：将a+b看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2

再将M换原，得原式＝（a+b﹣1）2

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：

（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2．

（2）（n2+3n+2）（n2+3n）+1．

【解答】解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2＝[（3a+2b）+（2a﹣3b）][（3a+2b）﹣（2a+3b）]

＝（5a+5b）（a﹣b）

＝5（a+b）（a﹣b）；

（2）设M＝n2+3n

则原式＝（M+2）M+1

＝M2+2M+1

＝（M+1）2，

所以（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．

5．（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．

解：∵a2＝3﹣a

∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12

∵a2+a＝3

∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9

∴a2（a﹣4）＝9

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．

（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．

【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，

∴a2﹣a＝10，

2（a+4）（a﹣5）

＝2（a2﹣a﹣20）

＝2×（10﹣20）

＝﹣20；

（2）∵x2+4x﹣1＝0，

∴x2+4x＝1，

2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1

＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1

＝2x2﹣4x2﹣8x+1

＝﹣2x2﹣8x+1

＝﹣2（x2+4x）+1

＝﹣2+1

＝﹣1．