初中北师大版第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组6 一元一次不等式组达标测试

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第3讲 不等式及不等式组

知识点1 不等式
1．不等式的定义
不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
注意：凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：
①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
3．不等式的解和解集
（1）不等式的解的：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【典例】
例1（2020春•宝安区校级月考）下列式子：
①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，
其中不等式有（　　）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1是不等式，共5个，
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
例2（2020秋•沙坪坝区校级月考）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中成立的是（　　）
A．a+c＞b+c B．ac＜bc C．ac2＞bc2 D．ac+1＞bc+1
【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【方法总结】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
例3（2020秋•罗湖区校级期末）下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若x＞y，y＞2，则x＞2 B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2
C．若x＞y，则2x＞2y D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2
【解答】解：A、∵x＞y，y＞2，
∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x＞y，
∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【方法总结】
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•揭阳期中）①3＞0；②4x+y≤1；③x+3＝0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式；
②是用“≤”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；
∴不等式有①②⑤共3个，
故选：C．
2．（2020秋•青田县期末）若x＜y成立，则下列不等式成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．4x＞4y C．﹣x+2＜﹣y+2 D．﹣3x＜﹣3y
【解答】解：（A）∵x＜y，∴x﹣2＜y﹣2，故选项A成立；
（B）∵x＜y，∴4x＜4y，故选项B不成立；
（C）∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，∴﹣x+2＞﹣y+2，故选项C不成立；
（D）∵x＜y，∴﹣3x＞﹣3y，故选项D不成立；
故选：A．
3．（2020春•灯塔市期末）如果2x﹣3＜2y﹣3，那么x与y的大小关系是x　＜　y．（填“＜”或“＞”符号）．
【解答】解：∵2x﹣3＜2y﹣3，
∴2x＜2y，
∴x＜y．
故答案为＜．
知识点2 一元一次不等式
1．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．
2．解一元一次不等式
解一元一次不等式步骤如下
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式性质3，即可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
3．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【典例】
例1（2020秋•西湖区校级期中）下列是一元一次不等式的是（　　）
A．2x＞1 B．x﹣2＜y﹣2 C．2＜3 D．x2＜9
【解答】解：A、是一元一次不等式，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、未知数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【方法总结】
此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
例2（2020春•城关区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．5+4＞8 B．4x≤5 C．2x﹣1 D．x2﹣3x≥0
【解答】解：A、5+4＞8中不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意．
B、4x≤5是一元一次不等式，故此选项符合题意；
C、2x﹣1是代数式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、x2﹣3x≥0是一元二次不等式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【方法总结】
此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
例3（2020•荔湾区二模）解不等式10-x3≤2x+1，并在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：10-x3≤2x+1，
去分母得10﹣x≤3（2x+1），
去括号得10﹣x≤6x+3，
移项得﹣x﹣6x≤3﹣10，
合并同类项得﹣7x≤﹣7，
把x的系数化为1得x≥1，
在数轴上表示为：

【方法总结】
本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
例4（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上
（1）3x+2＞14；
（2）1+x2-2x+13≤1．
【解答】解：（1）3x+2＞14，
3x＞14﹣2，
3x＞12，
x＞4，
表示在数轴上为：


（2）两边同时乘6得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项，合并同类项得﹣x≤5，
解得x≥﹣5，
表示在数轴上为：
．
【方法总结】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【随堂练习】
1．（2020春•南岗区校级月考）下列不等式中不是一元一次不等式是（　　）
A．x＞3 B．1x＞2 C．﹣y+1＞y D．2x＞1
【解答】解：A、是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、该不等式的左边是分式，它不是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C、是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D、是一元一次不等式，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（2020春•南岗区校级月考）下列不等式中不是一元一次不等式的是（　　）
A．x＞3 B．1x＞2 C．﹣y+1＜y D．2x＞1
【解答】解：1x＞2不是一元一次不等式．
故选：B．
3．（2020春•崇川区校级月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣18≤8x；
（2）2x-13-5x+12＞1．
【解答】解：（1）2x﹣18≤8x，
移项得：2x﹣8x≤18，
合并得：﹣6x≤18，
解得：x≥﹣3；
所以这个不等式的解集在数轴上表示为：
．
（2）2x-13-5x+12＞1，
去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
去括号得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
移项及合并同类项得：﹣11x＞11，
系数化为1得：x＜﹣1，
故原不等式的解集是x＜﹣1，在数轴上表示如下图所示，
．
4．（2020秋•沙坪坝区校级月考）解不等式：
（1）x+1＞2x﹣4；
（2）-2x-13＞4．
【解答】解：（1）x+1＞2x﹣4，
移项得：x﹣2x＞﹣4﹣1，
合并得：﹣x＞﹣5，
解得：x＜5；
（2）-2x-13＞4，
去分母得：﹣2x+1＞12，
移项得：﹣2x＞12﹣1，
合并得：﹣2x＞11，
解得：x＜-112．
5．（2020春•微山县期末）解不等式：2x-13-3x-12≤512．
【解答】解：去分母得4（2x﹣1）﹣6（3x﹣1）≤5，
去括号得8x﹣4﹣18x+6≤5，
移项、合并得﹣10x≤3，
系数化为1得x≥-310．
知识点3 一元一次不等式组
1．一元一次不等式组的概念
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
注意：一个一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：(1)这里的几个可以是两个、三个、…；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)必须都含有同一个未知教．
2．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间夹；大大小小无解答．
【典例】
例1（2020春•磁县期末）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　）
A．x-y＞0y+z＞0 B．x2-x＞0x+1＜0
C．y+2＞0x+y＜0 D．2x+3＞0x＞0
【解答】解：A、含有三个未知数，不符合题意；
B、未知数的次数是2，不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：D．
【方法总结】
本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式的定义即可轻松解答．
例2 （2020秋•罗湖区校级期末）解不等式组3x＜x+2，①x+12≥2x+15．②并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：3x＜x+2，①x+12≥2x+15．②，
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣3，
故此不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
在数轴上表示为：
．
【方法总结】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例3（2020秋•济南期末）解不等式组：2x-1＜7①3x-12≥x+1②，并在数轴上表示出不等式组的解集．

【解答】解：由①解得x＜4，
由②解得x≥3，
所以不等式组的解集为3≤x＜4．
解集在数轴上表示如下图：
．
【方法总结】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•平昌县期末）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　）
A．x-2＞0x＜-3 B．x+1＞0y-1＜0
C．3x-2＞0(x-2)(x+3)＞0 D．3x＞01x+1＞0
【解答】解：A、是一元一次不等式，故本选项正确；
B、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
D、第二个不等式不是整式，即不是一元一次不等式组，故本选项错误；
故选：A．
2．（2020秋•青田县期末）解不等式组：2x+1＞-1x+1≤3．
【解答】解：2x+1＞-1①x+1≤3②，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
3．（2020•济阳区模拟）解不等式组3(x-2)-x＞-812x-5＜-2x，并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：3(x-2)-x＞-8①12x-5＜-2x②，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
将解集表示在数轴上如下：

4．（2020•中宁县三模）解不等式组2x-7＜3(x-1)①5-12(x+4)≥x②．
【解答】解：解不等式①得，x＞﹣4，
解不等式②得，x≤2，
因此，原不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
综合运用
1．（2020秋•萧山区期中）若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣4＞y﹣4 B．x4＞y4 C．x+4＞y+4 D．﹣4x＞﹣4y
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去4，不等式仍成立，即x﹣4＞y﹣4，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时除以4，不等式仍成立，即x4＞y4，故本选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时加上4，不等式仍成立，即x+4＞y+4，故本选项不符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣4，不等号方向改变，即﹣4x＜﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
2．当3≤5﹣3x＜9时，不等式组3x+1＜9-x2(x+1)-6＜x的非负整数解为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：由3≤5﹣3x＜9解得，-43＜x≤23，
方程组3x+1＜9-x①2(x+1)-6＜x②，
解①得：x＜2，
解②得x＜4．
则不等式组的解集是x＜2．
故非负整数解是0，
故选：D．
3．（2020春•高州市期末）已知2k﹣3x2+2k＞1是关于x的一元一次不等式，那么k＝　-12　．
【解答】解：由题意得：2+2k＝1，
解得：k=-12，
故答案为：-12．
4．（2020春•高新区校级月考）已知12（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　4　．
【解答】解：∵12（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|﹣3＝1且12（m+4）≠0，
解得：m＝4，
故答案为：4．
5．（2020秋•南岗区校级月考）解不等式：
（1）5（x﹣1）≤3（x+1）；
（2）2x﹣1＞3x-12．
【解答】解：（1）去括号得，5x﹣5≤3x+3，
移项、合并得，2x≤8，
系数化为1得，x≤4．
（2）去分母得，4x﹣2＞3x﹣1，
移项、合并得，x＞1．
6．（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式：
（1）2x﹣1＜﹣6；
（2）x-12＜4x-53；
（3）解不等式组：x-3(x-2)≥41+2x3＞x-1，并在数轴上表示它的解集．

【解答】解：（1）移项得：2x＜﹣6+1，
合并得：2x＜﹣5，
解得：x＜﹣2.5；
（2）去分母得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5），
去括号得：3x﹣3＜8x﹣10，
移项得：3x﹣8x＜﹣10+3，
合并得：﹣5x＜﹣7，
解得：x＞1.4；
（3）x-3(x-2)≥4①1+2x3＞x-1②，
由①得：x≤1，
由②得：x＜4，
解得：x≤1．