北师大版八年级下册6 一元一次不等式组同步达标检测题

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第5讲 不等式组的应用

知识点1 实际应用类问题
对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组的解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【典例】
例1 （2020秋•雨花区期中）长沙市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要400元；若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品5件，需要650元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共70件，其中乙种纪念品的数量不少于40件，考虑到资金周转，用于购买这70件纪念品的资金不能超过5750元，那么该商店共有几种进货方案？
【解答】解：（1）设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元，
依题意，得：2x+3y=4003x+5y=650，
解得：x=50y=100．
答：购进甲种纪念品每件需50元，购进乙种纪念品每件需100元．
（2）设购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品（70﹣m）件，
依题意，得：m≥4050(70-m)+100m≤5750，
解得：40≤m≤45，
又∵m为正整数，
∴m可以为40，41，42，43，44，45，
∴该商店共有6种进货方案．
【方法总结】
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
例2 （2020春•防城港期末）自治区发展和改革委员会在2019年11月印发《广西壮族自治区新能源汽车推广应用攻坚行动方案》，力争到2020年底，全区新能源汽车保有量比攻坚行动前增长100%，达到14.6万辆以上，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
【解答】解：（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
依题意，得：2x+y=623x+2y=106，
解得：x=18y=26．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）设购买m辆A型车，则购买（6﹣m）辆B型车，
依题意，得：m≥118m+26(6-m)≥130，
解得：1≤m≤134，
又∵m是正整数，
∴m可以取1，2，3，
∴共有三种购车方案，方案1：购买1辆A型车，5辆B型车；方案2：购买2辆A型车，4辆B型车；方案3：购买3辆A型车，3辆B型车．
【方法总结】
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【随堂练习】
1．（2020春•海淀区校级期末）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？
【解答】解：（1）设公司购买x辆轿车，则购买（10﹣x）辆面包车，
依题意，得：x≥312x+8(10-x)≤100，
解得：3≤x≤5，
又∵x为正整数，
∴x可以取3，4，5，
∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买3辆轿车，7辆面包车；方案2：购买4辆轿车，6辆面包车；方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
（2）依题意，得：250x+150（10﹣x）≥2000，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤5，
∴x＝5，
∴公司应该选择购买方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
2．（2020秋•三水区校级月考）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
【解答】解：（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．
由题意7x+5(50-x)≥3063x+7(50-x)≥230，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x＝28或29或30，
∴50﹣x＝22或21或20，
∴共有3种方案．

（2）方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆，
∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20＝34000（元）．

（3）由题意30m+20n＝2100，
∴3m+2n＝210，
∴m＝70-23n，
∵m，n是整数，
∴n是3的倍数，
∵38＜m＜n．
∴38＜70-23n＜n，
∴42＜n＜48，
∵n为3的倍数，
∴n＝45，
∴m＝40
∴每辆A型车奖金为40元．每辆B型车奖金为45元．
知识点2 表格图形类问题
在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算.
【典例】
例1（2020秋•汉阳区期中）某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1680元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货方案？并求出其中获利最大的购货方案．
【解答】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
依题意得：x+y=200(20-14)x+(45-35)y=1680，
解得：x=80y=120．
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件．
（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（200﹣m）件，
依题意得：14m+35(200-m)＜5320(20-14)m+(45-35)(200-m)＞1660，
解得：80＜m＜85，
又∵m为非负整数，
∴m可以为81，82，83，84，
∴该商店共有4种购货方案．
设销售完这批商品后获利w元，则w＝（20﹣14）m+（45﹣35）（200﹣m）＝﹣4m+2000，
∵﹣4＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝81时，w取得最大值，
即甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，该商店销售完这批商品后获利最大．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
例2 （2020春•高邮市期末）经销商销售甲型、乙型两种产品，价格随销售量x的变化而不同，具体如表：
销售量x（件）
价格（元/件）
型号
x≤50
50＜x≤200
甲型
a
0.8a
乙型
b
0.9b
已知销售10件甲型产品和30件乙型产品的销售额为750元；销售60件甲型产品和100件乙型产品的销售额为2520元．
（1）求a、b的值；
（2）若学校要购买甲型、乙型两种产品共101件，购买的甲产品少于乙产品，所用经费不超过1680元，则有多少种购买方案？
【解答】解：（1）依题意，得：10a+30b=75060×0.8a+100×0.9b=2520，
解得：a=15b=20．
（2）设购买甲产品x件，乙产品（101﹣x）件，
依题意，得：2x＜10115x+20×0.9(101-x)≤1680，
解得：46≤x＜50.5，
又∵x为正整数，
∴x可以取46，47，48，49，50，
∴有5种购买方案．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【随堂练习】
1．（2020春•花都区期末）某学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息：
A
B
总费用
3件
1件
500元
1件
2件
250元
（1）求每件器材A、器材B的销售价格；
（2）若该学校准备用不多于2700元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？
【解答】解：（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，
依题意，得：3x+y=500x+2y=250，
解得：x=150y=50．
答：每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元．
（2）设购买m件器材A，则购买（25﹣m）件器材B，
依题意，得：m≥12150m+50(25-m)≤2700，
解得：12≤m≤1412，
∵m为正整数，
∴m可以取12，13，14，
∴共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．
方案1所需费用为150×12+50×13＝2450（元）；
方案2所需费用为150×13+50×12＝2550（元）；
方案3所需费用为150×14+50×11＝2650（元）．
∵2450＜2550＜2650，
∴最少费用是2450元．
答：共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．最少费用是2450元．
2．（2020•三明二模）某服装店计划购进一批甲、乙两种款式的运动服进行销售，进价和售价如下表所示：
运动服款式
甲
乙
进价（元/套）
80
100
售价（元/套）
120
160
若购进两种款式的运动服共300套，且投入资金不超过26800元．
（Ⅰ）该服装店应购进甲款运动服至少多少套？
（Ⅱ）若服装店购进甲款运动服的进价每套降低a元，并保持这两款运动服的售价不变，且最多购进240套甲款运动服．如果这批运动服售出后，服装店刚好获利18480元，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 设该服装店应购进甲款运动服x套，由题意得，
80x+100（300﹣x）≤26800，
解得x≥160，
∴至少要购进甲款运动服160套；
（Ⅱ） 设购进甲款运动服y套，由题意，得
（120﹣80+a）y+（160﹣100）（300﹣y）＝18480，
（a﹣20）y＝480．
∴a﹣20=480y，
∵160≤y≤240，
∴2≤480y≤3．
∴2≤a﹣20≤3．
∴22≤a≤23．
知识点3 新定义类问题
【典例】
例1（2020•德城区模拟）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}=a(a≥-1)-1(a＜-1)根据以上材料，解决下列问题：
若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为　23≤x≤92　．
【解答】解：∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}＝3，
∴5-3x≤32x-6≤3，
∴23≤x≤92，
故答案为23≤x≤92．
【方法总结】
此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意得到不等式去求解，考查综合应用能力．
【随堂练习】
1．（2020春•郫都区校级期中）先阅读短文，回答后面所给出的问题：对于三个数a、b．c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；min{﹣1，2，a}=a(a≤1)-1(a＞-1)，若min{4，x+4，4﹣x}＝max{2，x+1，2x}，则x的值为　43或﹣2　．
【解答】解：①当4最小时，
∴x+4＞4，4﹣x＞4，此种情况不成立，
②当x+4最小时，
∴4≥x+4，4﹣x≥x+4，
∴x≤0，x+4＝2，
解得：x＝﹣2；
③当4﹣x最小时，
4＞4﹣x，4+x＞4﹣x，
∴x＞0
Ⅰ、当2最大时，
∴2≥x+1，2≥2x，
∴x≤1，
∴4﹣x＝2，
解得：x＝2（舍）；
Ⅱ、当2x最大时，
∴2x＞2，2x＞x+1，
∴x＞1，
∴4﹣x＝2x，
解得：x=43；
Ⅲ、当x+1最大时，
∴x+1＞2，x+1＞2x，此种情况不成立，
综上，x的值为43或﹣2，
故答案为43或﹣2．
2．（2019春•庆云县期末）对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．（注：取英文单词minimum（最少的），maximum（最多的）前三个字母）
例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；min{﹣1，2，a}=a(a≤-1)-1．若max{2，x+1，2x}＝2x，则x的取值范围为　x≥1　．
【解答】解：由题意可得：2x≥2①2x≥x+1②，
解①得：x≥1，
解②得：x≥1，
故不等式组的解集是：x≥1．
故答案为：x≥1．

综合运用
1．（2020秋•中原区校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：
10m+5n=1706m+10n=200，
解得：m=10n=14．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：10x+14(100-x)≥116010x+14(100-x)≤1168，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
2．（2020秋•开福区校级期中）为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：3x+2y=5403y-2x=160，
解得：x=100y=120．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20﹣m）个A型垃圾箱，
依题意，得：100(20-m)+120m＜2150m≥6，
解得：6≤m＜152．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
3．（2020春•三水区期末）三水某工厂最近准备复工复产，需要面向社会招聘A，B两个工种的工人共150人．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人．请回答以下问题：
（1）若设A工种工人人数为x，那么B工种工人人数为　（150﹣x）人　；
（2）请利用不等式的知识求出招聘的所有方案；
（3）若A，B两个工种的工人的月工资分别是5000和8000元，怎样招聘可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是多少？
【解答】解：（1）∵A工种工人人数为x，A，B两个工种的工人共150人，
∴B工种工人人数为（150﹣x）（人），
故答案为：（150﹣x）人；
（2）由题意可得150-x≥2x150-x≤x+54，
解得：48≤x≤50，
∵x为整数，
∴x＝48或49或50，
∴方案一、招聘A工种工人人数为48人，B工种工人人数为102人，方案二、招聘A工种工人人数为49人，B工种工人人数为101人，方案三、招聘A工种工人人数为50人，B工种工人人数为100人；
（3）方案一、工资总额＝5000×48+8000×102＝1056000元，
方案二、工资总额＝5000×49+8000×101＝1053000元，
方案三、工资总额＝5000×50+8000×100＝1050000元，
答：招聘招聘A工种工人人数为50人，B工种工人人数为100时，工资总额最少，最少工资总额是1050000元．
4．（2020春•昭通期末）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
产品种类
A
B
成本（万元/件）
3
5
利润（万元/件）
1
2
（1）若工厂计划获利13万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂投入资金不超过45万元，且获利不少于15万元，问该工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）条件下，求出最大利润．
【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，B种产品应生产y件，
由题意，得x+y=10x+2y=13．
解得x=7y=3．
答：A产品生产7件，B产品生产3件．

（2）设生产A种产品m件，则B种产品为（10﹣m）件，
依题意得3m+5(10-m)≤45m+2(10-m)≥15．
解得52≤m≤5．
∵m为正整数，
∴m＝3，4，5．
∴该工厂有以下三种生产方案：
方案一：A产品生产3件，B产品生产7件；
方案二：A产品生产4件，B产品生产6件；
方案三：A产品生产5件，B产品生产5件．

（3）方案一的利润：3×1+7×2＝17（万元）；
方案二的利润：4×+6×2＝16（万元）；
方案三的利润：5×1+5×2＝15（万元），
∴最大利润是17万元．
5．（2020春•阜平县期末）某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？（先填写表格，再设计方案）．
设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节．
货厢号
装货量
货物种类
A
B
甲
35x吨
　25（50﹣x）　吨
乙
　15x　吨
　35（50﹣x）　吨
【解答】解：∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，
∴x节A型货厢共装15x吨乙种货物，（50﹣x）节B型货厢共装25（50﹣x）吨甲种货物、35（50﹣x）吨乙种货物．
依题意，得：35x+25(50-x)≥153015x+35(50-x)≥1150，
解得：28≤x≤30．
∵x为正整数，
∴x可以取28，29，30，
相应的（50﹣x）的值为22，21，20，
∴共有3种运输方案，方案1：用A型货厢28节，B型货厢22节；方案2：用A型货厢29节，B型货厢21节；方案3：用A型货厢30节，B型货厢20节．
故答案为：15x；25（50﹣x）；35（50﹣x）．
6．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；
（2）当min{2x-32，x+23}=x+23时，求x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：2x-32≥x+23
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
x≥134，
∴x的取值范围为x≥134．
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