初中数学北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程2 分式的乘除法随堂练习题

第9讲 分式的运算

知识点1 分式

【典例】

  例1 （2020秋•原州区期末）式子，，，，中，分式的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：，是分式，

，，是整式，

故选：A．

【方法总结】

本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型．

例2（2020秋•红桥区期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x≠1 B．x＞1 C．x≠0 D．x＜1

【解答】解：∵分式有意义，

∴x﹣1≠0，

∴实数x的取值范围是x≠1，

故选：A．

【方法总结】

本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．

例3 （2020秋•高州市期中）若分式的值为0，则x的值为　﹣3　．

【解答】解：根据题意，得x2+5x+6＝0，且x+2≠0，

所以（x+2）（x+3）＝0且x+2≠0，

所以x+3＝0，

解得x＝﹣3．

故答案是：﹣3．

【方法总结】

此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

注意：“分母不为零”这个条件不能少．

【随堂练习】

1．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2个．

故选：B．

2．（2020秋•新宾县期末）已知分式的值为0，那么x的值是　﹣2　．

【解答】解：要使分式的值为0，

则（x﹣1）（x+2）＝0，x2﹣1≠0，

解得，x＝﹣2，

故答案为：﹣2．

3．（2020秋•宽城区期末）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x B．x C．x D．x

【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，

∴2x﹣3≠0，

解得，x，

故选：D．

知识点2  分式的乘除运算

1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

3、分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

，即

【典例】

例1 （2020秋•宽城区期末）计算：　　．

【解答】解：

．

故答案为：．

【方法总结】

此题主要考查了分式的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．

例2 （2020秋•聊城期中）计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【解答】解：（1）；

（2）a﹣b；

（3）．

【方法总结】

本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•河北区期末）计算：•　　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

2．（2020秋•莫旗期末）计算（）3÷（）2的结果是　　．

【解答】解：原式•．

故答案为：．

知识点3  分式的加减运算

分式的加减法法则：

（1）同分母分式：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

（2）异分母分式：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

注：分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。

【典例】

例1（2020春•相城区期中）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式a+1；

 （2）原式．

【方法总结】

此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握分式加减法计算法则．

例2（2020春•扬中市期中）计算

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式

＝a﹣1；

（2）原式

．

【方法总结】

此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020春•昆山市期中）计算：．

【解答】解：原式．

2．（2020•肥东县二模）计算：．

【解答】解：原式

．

3．（2020•鼓楼区一模）计算．

【解答】解：原式

．

知识点4 分式的混合运算

对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．

分式的混合运算顺序与整式的混合运算相同，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

【典例】

例1（2020秋•西城区期末）计算：．

【解答】解：原式•

．

【方法总结】

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

例2（2020秋•沙河口区期末）计算：（1）．

【解答】解：原式•

．

【方法总结】

本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

【随堂练习】

1．（2020秋•昆明期末）计算与化简

（1）；

（2）（a+2）．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

•

•

＝﹣2（a+3）

＝﹣2a﹣6．

2．（2020秋•原州区期末）计算：（）•（）．

【解答】解：原式••

＝1．

知识点5  分式的化简求值

先把分式化简，再把未知数对应的值代入化简后的式子求值

注：在化简过程中要注意运算顺序，运算的结果要化成最简分式或整式

【典例】

例1（2020春•鲤城区校级月考）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣2．

【解答】解：原式•

•

，

当x＝﹣2时，原式＝1．

【方法总结】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

例2（2020•三水区校级一模）先化简，再求值：（1），其中m．

【解答】解：原式（）

•

，

当m时，

原式

．

【方法总结】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

【随堂练习】

1．（2020•四会市校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．

【解答】解：

，

当x＝﹣2时，

原式．

2．（2020•三水区一模）先化简，再求值：（x+1），其中x．

【解答】解：（x+1）

[]

•

，

当x时，原式．

（选学）知识点6  分式运算找规律　

常见列项公式

（1）

（2）

（3）

【典例】

例1（2020春•下城区期末）若p，则使p最近的正整数n是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：∵p

（）

（）

．

∴当n＝4时，p；

当n＝5时，p；

当n＝6时，p；

当n＝7时，p．

显然，．

故选：A．

【方法总结】

本题考查了分式的加减法，熟练运用“裂项法“对已知分式变形化简是解题的关键．

例2 （2020秋•垦利区期中）已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2，a3，…，an，则a2020等于　x+1　．

【解答】解：把a1＝x+1代入得：a2，a3，a4x+1，…，

依此类推，以x+1，，循环，

∵2020÷3＝673…1，

则a2020＝x+1．

故答案为：x+1．

【方法总结】

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•丛台区校级月考）已知，字母a、b满足0，则的值为（　　）

A．1 B． C． D．

【解答】解：∵0，

∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，

解得：a＝1，b＝2，

则原式11．

故选：D．

综合运用

1．（2020秋•乐亭县期末）下列分式中一定有意义的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A．当x＝0时，无意义，不合题意；

B．当x＝±1时，无意义，不合题意；

C．当x取任意实数时，有意义，符合题意；

D．当x＝﹣1时，无意义，不合题意；

故选：C．

2．（2020春•萧县期末）在有理式﹣π，中，分式有　3　个．

【解答】解：分式有，，，共3个，

故答案为：3．

3．（2020秋•大兴区期末）若分式的值为0，则x＝　﹣2　．

【解答】解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，

解得x＝±2，且x≠2，

∴x＝﹣2，

故答案为：﹣2

4．（2020秋•吉林期末）计算：．

【解答】解：原式

．

5．（2020秋•朝阳区期末）计算：．

【解答】解：原式

．

6．（2020•连云港）化简．

【解答】解：原式•

•

．

7．（2020秋•华龙区校级期中）计算

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式•

；

（2）原式

•

．

8．（2020春•昭通期末）先化简，再求值：，其中a1．

【解答】解：原式•（a﹣1）

，

当a1时，

原式

．

9．（2020春•温江区期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2，S3，S4，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝　a+1　．

【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），

∴S2，

S3，

S4a+1，

…，

∴3个一循环，

∵2020÷3＝673…1，

∴S2020＝a+1．

故答案为：a+1．