北师大版八年级下册4 分式方程巩固练习

第11讲 分式方程的应用

知识点1 分式方程的应用-行程问题

1、基本公式：路程=速度×时间

2、流水行船问题：

顺水速度=水流速度+静水速度

逆水速度=静水速度﹣水流速度

【典例】

例1（2020秋•建华区期末）A、B两地距80千米，一辆公共汽车从A地去B地，15分钟后又从A地同方向开出一辆小汽车去B地，小汽车车速是公共汽车车速的2倍，结果小汽车比公共汽车早33分钟到达B地，求两车速度．

【方法总结】

本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．

例2（2020秋•定西期末）从南昌乘K134、T306列车都可直达定西，已知南昌至定西的铁路里程大约为1710千米，T306列车的平均速度为K134列车的平均速度的1.5倍，且行驶完全程T306列车所需的时间比K134列车所需的时间少6小时．求K134列车和T306列车的平均速度．

【方法总结】

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•伊通县期末）为响应政府“绿色出行”的号召，张老师上班由自驾车改为骑公共自行车．已知张老师家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用多少小时？

2．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．

（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．

（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？

3．（2020秋•绥中县期末）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？

知识点2 分式方程的应用--销售、利润问题

销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

【典例】

例1（2020秋•天心区期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．

（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；

（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？

【方法总结】

题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

例2（2020秋•红桥区期末）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

【方法总结】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程

【随堂练习】

1．（2020秋•松北区期末）哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书，其中A类书的单价比B类书的单价多4元，用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等．

（1）求去年购买的B类书和A类书的单价各是多少元？

（2）若今年B类书的单价比去年提高了25%，A类书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买A类书和B类书共200本，且购买A类书和B类书的总费用不超过2300元，这所中学今年至少要购买多少本B类书？

2．（2020秋•香坊区期末）某商厦利用8000元的资金购进一批运动服，面市后供不应求．于是，商厦再次利用17600元购进同样的运动服，第二批购进的数量是第一批购进数量的2倍，且每套运动服的进价比第一批多4元，商厦销售运动服时每套的预售价都是58元．

（1）求第一批运动服的进价为每套多少元？

（2）按预售价销售一段时间后，根据市场的实际情况，商厦决定将剩余部分运动服打五折销售，要使销售这两批运动服的总利润不少于6300元，商厦打折销售的该运动服至多为多少套？

3．（2020秋•南岗区期末）某商店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍．

（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？

（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？

知识点3 分式方程的应用--工程问题

1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

常用公式为：

①工作量=工作效率×工作时间，②，③.

2、工程问题中，一般常将全部工作量看作单位1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。

【典例】

例1（2020秋•河东区期末）甲、乙两人做某种机械零件．

（1）已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．

（2）已知甲计划做零件60个，乙计划做零件100个，甲、乙的速度比为3：4，结果甲比乙提前20分钟完成任务，则甲每小时做零件_______个，乙每小时做零件_______个．

【方法总结】

本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

例2（2020秋•原州区期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？

【方法总结】

本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系主要用到公式：工作量＝工作效率×工作时间．

【随堂练习】

1．（2020秋•永吉县期末）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；

方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

2．（2020秋•前郭县期末）学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

知识点4  分式方程的应用--其他问题

【典例】

例1（2020秋•无为市期末）列方程解应用题：

中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．

【方法总结】

本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．

例2（2020•市北区一模）某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？

【方法总结】

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•当涂县期末）新冠疫情后，为减少租户的经济损失，某步行街复工复市后沿街房屋出租租金下调，每间房屋的租金比去年少500元，所有房屋出租的租金今年为9.6万元，去年为10.2万元．该步行街沿街房屋有多少间？

2．（2020•南关区校级二模）现代科技的发展已经进入了5G时代，“5G”即第五代移动通信技术．有专家说“同4G相比，5G的传输速率提高了10至100倍．”如果5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍，那么在峰值速率下传输1000MB数据，5G网络比4G网络快90秒，求这两种网络的峰值速率（MB/s）．

综合运用

1．（2020秋•临湘市期中）甲、乙两单位为爱心基金捐款，其中甲单位捐款4800元，乙单位捐款6000元．已知乙单位捐款人数比甲单位多50人，且两单位人均捐款数相等，问这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？

2．（2020秋•东西湖区期末）两个小组同时开始登一座450m高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰．两个小组的速度各是多少？如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin达到顶峰，则两组的攀登速度各是多少？

3．（2020•邗江区校级二模）两个小组同时从朱自清故居出发，匀速步行前往瘦西湖．两地相距3000米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早10分钟到达乙地．求第一小组的步行速度是多少千米/小时？

4．（2020•道里区三模）为了美化小区，物业决定购买A，B两种灯笼，B种灯笼的单价比A种灯笼的单价少6元，若800元购买A种灯笼的个数与680元购买B种灯笼的个数相同．

（1）求A和B两种灯笼的单价各是多少元；

（2）若物业购买A、B两种灯笼共100个，总费用不能超过3800元，则物业至少购买B种灯笼多少个？

5．（2020•亭湖区校级一模）某商店用2000元购进一批电瓶车头盔，购进后供不应求，被抢购一空，于是，又用6600元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．

（1）第一批头盔进货单价多少元？

（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？

6．（2020•道外区三模）某加工厂甲、乙二人制造同一种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．

（1）求甲、乙每小时各做多少个机械零件．

（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种机械零件228个，由于乙另有其它任务，所以先由甲工作若干小时后再由甲、乙共同完成剩余的任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时？

7．（2020•李沧区模拟）在“五水绕城”生态环境提升项目部分工程中，计划请甲，乙两个工程队来完成，经过调查发现，甲工程队每天比乙工程队每天少整治40米，甲工程队单独完成5700米整治任务时间和乙工程队单独完成7600米整治任务时间相等．

（1）甲，乙工程队每天分别整治多少米？

（2）由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲，乙两个工程队共用时80天．接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少干多少天？