初中数学冀教版八年级上册第十五章 二次根式15.1 二次根式教学ppt课件

教学目标

1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质；

2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简；

3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.

教学重难点

重点：积(商)的算术平方根的性质及最简二次根式的概念.

难点：能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式.

教学过程

旧知回顾

二次根式已经具备哪些性质？

；；（a≥0）.

导入新课                           

问题情境引入“二次根式的性质”

一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?

学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题，教师板书课题.

探究新知                         

一、二次根式的性质

1.积的算术平方根

问题：计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?

(1)与；　(2)与.

学生计算,得出(1)(2)中两式均相等.

当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,

因为当a≥0,b≥0时,()2＝a·b,(·)2＝()2·()2＝a·b,所以·.

引导学生进行归纳得出：积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).

知识拓展

积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.

如···(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).

2.商的算术平方根

问题1：与是否相等?与呢?

学生经过计算得出两个式子均相等.

问题2：对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?并说明理由.

学生不难猜想得到(a≥0,b>0).

引导学生根据刚才的过程加以证明.

解:因为当a≥0,b>0时,,,所以.

问题3：对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?

引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即

(或)(a≥0,b>0).

归纳

二次根式的性质：

（1）积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).

（2）商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即

(或)(a≥0,b>0).

练习：(学生自主完成，教师进行评价）

A.x≥1  B.x≥-1  C.-1≤x≤1  D.x≥1或x≤-1

答案：A

A.1    B.3    C.4    D.5

答案：B

例1  化简.

(1)；　(2)；　(3)；　(4).

教师引导，学生分析：　(1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简；(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简.

解:(1)＝3.

(2)＝4.

(3).

(4).

总结：

（1）被开方数分成两部分相乘，第一部分为某数平方，第二部分中不能含一个数的平方；

（2）当分母不是平方数时，要给分母凑成最小的平方数；

（3）当被开方数是小数时，先将小数化为分数.

二、最简二次根式

观察上面例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:

(1)化简前,被开方数是怎样的数?

(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?

归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.

说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.

简记为：根号下（1）不含分母（2）不含小数（3）不含平方.

练习

1.下列根式是最简二次根式的是(　  )

  A.       B.   C.     D.

学生自主完成，教师进行评价.

答案：1.C  2. 3

例2　化简：

；     .

学生进行讨论，解类似的题目有几种方法？哪种方法更简单？讨论后进行成果展示.

解：；

.

思考：通过比较（1）第一种方法比较简单，因为10放到根号下时可以和5约分，简化计算；（2）用哪种方法简单呢？（通过观察用方法二比较简单）

解：.

注意:当根号外的数进入根号内可与根号内分数约分时，先让根号外的数进入根号内，可使计算简单；否则，应先化简二次根式，再与根号外数相乘.

练习：

化简：；   ；   ；   .

拓展：下列运算正确的是（    ）

教师引导，学生分析：

；

；

.

答案：D

课堂练习

1.在下列根式： 中，最简二次根式有(　　)

A. 4个  B. 3个   C. 2 个    D. 1个

2.若则x的取值范围是(　　)

A.x≥－3     B.x≥2    C.x＞－3  　 D.x＞2

3.化简:

.

参考答案

1.C　2.B

3. 解：

课堂小结

1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即·(a≥0,b≥0).

2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即

(或)(a≥0,b>0).

3.最简二次根式

一般地,如果一个二次根式满足：①被开方数的因数是整数,因式是整式,②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.

布置作业

完成教材第94页练习及习题.

板书设计

15.1二次根式

第2课时  二次根式的性质

教学反思

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