冀教版第十五章 二次根式15.4 二次根式的混合教学课件ppt

教学目标

1.了解二次根式混合运算的运算顺序；

2.能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算；

3.掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.

教学重难点

重点：能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算；

难点：掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.

教学过程

旧知回顾

回忆整式的乘法公式和法则有哪些？

在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方公式和平方差公式？分别用式子表示出来.

答:单项式与多项式相乘的法则是,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为m(a+b+c)＝ma+mb+mc.

多项式与多项式相乘的法则是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn,其中a,b,m,n都是单项式.

完全平方公式:(a±b)2＝a2±2ab+b2;平方差公式:(a+b)(a-b)＝a2-b2.

在实数范围内,整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用,运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算.

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复习引入“二次根式的混合运算”

问题1：二次根式有哪些性质和公式?

(1)a≥0时,＝a；(2)()2＝a(a≥0) ；(3)·(a≥0,b≥0) ；

(4)或(a≥0,b>0).

问题2：二次根式的加减实质是：合并同类二次根式（被开方数相同）.

问题3：整式与分式的混合运算顺序是什么？

运算顺序：先乘除，后加减.有括号的，先算括号里面的.

那么二次根式的混合运算时怎么进行的呢？今天我们就来学习解决的方法，教师板书课题.

探究新知

一、二次根式的混合运算

大家谈谈——感知方法

计算下列各式.

（1）()；　(2)(6+3)；

(3)(-2)(+2)；　(4)(+)2.

观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运算律和乘法公式.

学生分析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括号内的每一项分别除以再相加；(3)利用平方差公式直接计算；(4)利用完全平方公式计算.

学生在练习本上完成.

解:(1)()＝＝3.

(2)(6+3)＝6+3＝6+9＝15.

(3)(-2)(+2)＝()2-22＝3-4＝-1.

(4)(+)2＝() 2+2××+（）2＝3+2+2＝5+2.

教师强调:计算的结果要化为最简二次根式或整式,对于(2)你还有其他方法吗?鼓励学生可以将3化成最简二次根式,再求值.

通过此题总结：二次根式的混合运算

1.运算顺序：先算乘除，后算加减；如果有括号，要先算括号里面的.

2.运算律、乘法公式仍然适用：

；

.

二、例题讲解

例1　计算下列各式.

(1)(-);　(2)().

教师指导，学生分析：　(1)把乘法运算的结果化成最简二次根式或整式,再进行加减运算;(2)不是最简二次根式的可以先化简,再进行计算.

学生独立思考后完成,教师指两名学生板演,全班讲评.

解:(1)思路一:(-)＝-＝4-2.

思路二:(-)＝(2-)＝4-2.

(1)    思路一:

()＝2+5.

思路二:

()＝(2+5)＝2+5＝2+5.

说明:教师要鼓励学生采用不同的方法进行计算,提倡方法的多样化.

练习：选择合适的算法计算下列各式.

；.

教师指导，学生分析：（1）用乘法分配律可使计算简便.

（2）先计算括号里面的可使计算简便.

解：；

.

例2　计算下列各式.

(1)()(-);　(2)(+1)2.

想一想:(1)()2(a≥0)的值是多少?

(2)本题中的(1)(2)怎样计算比较简便?

分析:可以利用平方差公式和完全平方公式进行计算.

解：(1)原式＝()2-()2＝5-2＝3.

(2)原式＝()2+21+12＝3+2+1＝4+2.

注意： (1)运算律仍然适用；

 (2)乘法公式仍然适用；

 (3)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式.

练习：计算下列各式.

解：

例3　计算下列各式.

(1);　(2)(5+)(-3).

引导学生思考:(1)中怎样能把其分母有理化?

(2)应采用哪种方法计算.

学生思考后得出(1)中分子、分母同时乘(+1);(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算.

教师巡视指导后展示答案,分析过程.

解:(1)+1.

(2)(5+)(-3)＝5-15+()2-3＝2-12.

知识拓展：二次根式的混合运算实质上就是有理数的混合运算与无理数的混合运算,是对前面学过的二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化.

练习：计算下列各式：

； .

拓展

教师指点，学生尝试完成，教师巡视评价，不会的集中讲解.

答案：1.

，

.

；

.

课堂练习

1.下列计算正确的是(　　)

  A. ＋  ＝

  B.    

C.

  D.÷＝(a≥0，b＞0)

2.把 ＋  进行化简，得到的最简结果是________(结果保留根号)．

3.设a＝，b＝，则a ________b(填“>” “<”或“＝”)．

4.计算：

(1) ；

.

5.已知   ，求的值.

参考答案

1.D　2.　(3)＝

4.解：（1）.

（2）原式.

5.解：

课堂小结

1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式仍然成立,在二次根式的混合运算中均可运用.

2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进行二次根式的加减运算.在进行二次根式的和与差的乘法运算时,可以直接运用公式进行计算.

3.在进行二次根式的混合运算时,先进行乘法运算,再进行加减运算,有括号时,先算括号里面的.

4.一般地,二次根式运算结果应化为最简二次根式或整式.

布置作业

完成教材第103页习题A组，B组.

板书设计

15.4　二次根式的混合运算

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