初中数学冀教版八年级上册17.2 直角三角形教学ppt课件

教学目标

1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余；

2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形；

3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

教学重难点

重点：掌握直角三角形的性质定理和判定定理.

难点：初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.

教学过程

旧知回顾

1.回忆三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°.

2.回忆直角三角形的概念及其表示：

（1）直角三角形定义：有一个角等于90°的三角形叫直角三角形；

（2）符号： Rt△，    

直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC.

导入新课                           

实际生活引入“直角三角形”：——三角板.

这是教师经常使用的两个三角板，同学们手中也有一副这样的三角板，观察一下看看它们三个内角之间有什么规律.

教师引入课题：直角三角形.

探究新知                         

一、直角三角形的性质定理1和判定定理

互助探究一： 直角三角形的两个锐角关系.

学生自主完成证明：直角三角形的两个锐角互余.

已知： 在Rt△ABC中，∠C＝90°.

求证：∠A+∠B＝90°.

证明： ∵ 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，

且∠C＝90°，

∴ ∠A+∠B＝180°-∠C＝180°-90°＝90°.

小结：直角三角形的两个锐角  互余          .

符号语言：在△ABC中，∠C＝90°,

∴ ∠A+∠B＝（90°）.

直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.

探讨：1.是否存在这样的三角形，它既是等腰三角形，又是直角三角形？

等腰直角三角形.

2.等腰直角三角形的两个锐角各是多少度呢？45°.

例　如图，∠C＝∠D＝90°,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

教师指导，学生分析：通过观察∠CAE与∠CEA互余，

∠DBE与∠DEB互余.

解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90 °-∠AEC.

在Rt△BDE中, ∠DBE＝90 °-∠BED.

∵ ∠AEC＝∠BED，∴ ∠CAE＝∠DBE.

互助探究二：直角三角形的判定定理

如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.

已知：在△ABC中，∠A+∠B＝90°.在在来源：学#科#网

求证：△ABC是直角三角形.

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°,

∵ ∠A+∠B＝90°,

∴ ∠C＝180°-（∠A+∠B）＝180°-90°＝90°,

∴ △ABC是直角三角形.

符号语言：在△ABC中，∠A+∠B＝（90°）,

∴ △ABC是（ 直角  ）三角形.

直角三角形的判定定理：

如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.

练习：1.如图1，图中直角三角形共有(       )

A.1个      B.2个        C.3个         D.4个

图1              图2

2.如图2，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°，则△AOB是     三角形.

答案：1.C　2.直角

二、直角三角形性质定理2

互助探究三：直角三角形斜边上的中线与斜边的关系.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(1)                  (2)               (3)

在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C＝90°，如图（1）；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）；将纸展开，如图（3）.

完成下列问题：

(1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？

∠ECF＝∠B，EC＝EB.

(2)由发现的上述关系以及∠A+∠B＝∠ACB，∠ACE+∠ECF＝∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢?

∠ACE＝∠A，AE＝CE.

(3)由发现的上述关系，你能猜想线段CE与线段AB的关系吗?

猜想：CE＝AE＝EB，即CE是AB的中线，且CE＝AB.

即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

下面就来证明上面的“猜想”

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线.

求证：CD＝AB.

证明：如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E；

      作DF∥AC，交BC于点F.

      在△AED 和△DFB 中，

      ∴ △AED≌△DFB (ASA).

      ∴ AE＝DF，ED＝FB.(全等三角形的对应边相等）

同理可证，△CDE≌△DCF.

从而，ED＝FC，EC＝FD.

∴ AE＝EC，CF＝FB.(等量代换）

又∵ DE⊥AC，DF⊥BC，

∴ DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线.

∴AD＝CD＝BD(线段垂直平分线的性质定理).

      ∴ CD＝AB.

直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

练习：1.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M、C两点间的距离为(       )

A.0.5 km  B.0.6 km  C.0.9 km     D.1.2 km

2.在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．

学生自主完成，教师评价

答案：1.    D    2.    4

互助探究四： 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.

求证：BC＝AB.

证明：作斜边上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝AB.

∵ ∠A＝30°,∴ ∠B＝60°.

∴ △CDB是等边三角形，∴ BC＝BD＝ AB.

还可以这样证明：延长BC到D,使CD＝BC, 连接AD.

在△ABC和△ADC中,

∴ △ABC≌△ADC(SAS), ∴ AB＝AD.

∵ ∠BAC＝30°,∴ ∠B＝90°-30°＝60°,

∴ △ABD是等边三角形,

∴ AB＝BD,∴ BC＝AB.

含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

课堂练习

1.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( 　　)

A.∠A+∠B＝∠C                    B.∠A-∠B＝∠C

C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3          D.∠A＝∠B＝3∠C

2.如图1，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是(        )

A.26°    B.38°     C.42°       D.52°

图1                          图2

3.如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4 cm，则AB等于(       )

A.9 cm      B.8 cm        C.7 cm       D.6 cm

4.如图3，E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是______三角形.

图3                    图4

5.如图4，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．

求证：△ACD是直角三角形．

参考答案

1.D　2.D  3.B  4.直角               

5.证明：∵ ∠ACB＝90°，

∴ ∠A+∠B＝90°.

∵ ∠ACD＝∠B，

∴ ∠A+∠ACD＝90°，

∴ △ACD是直角三角形.

课堂小结

1.直角三角形的性质定理1和判定定理：

性质定理1：直角三角形的两个锐角互余；

判定定理：如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.

2.直角三角形的性质定理2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.

布置作业

完成教材149页习题A组、B组.

板书设计

17.2　直角三角形

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