资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩37页未读，
继续阅读
所属成套资源：初三数学北师大版下册（春季班）讲义
成套系列资料，整套一键下载
初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数课时训练
展开
这是一份初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数课时训练，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第9讲锐角三角函数--提高班教师版doc、北师大版初三数学上册秋季班讲义第9讲锐角三角函数--提高班学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
第9讲 锐角三角函数
知识点1 正弦、余弦、正切
锐角三角函数相关概念
正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。
锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。
（1） 三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，00。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0函数的增减性分别为：
①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大
②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小
③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大.
【典例】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=
【答案】4；
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∴sinA==，
2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．
【答案】
【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO==2，
AC==，
OC==，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB===．
3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．
【答案】2
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC===4，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA===2．
【方法总结】
1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
2、相等的角相对应的三角函数值相等。
3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。
4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比.
【随堂练习】
1．（2017秋•东莞市校级月考）三角函数sin45°，cos16°，cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin45° B．cos16°＞cos43°＞sin45°
C．cos16°＞sin45°＞cos43° D．cos43°＞sin45°＞cos16°
【解答】解：∵sin45°=cos645，
又16°＜43°＜45°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin45°．
故选：B．
2．（2018•绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是___．
【解答】解：如图，
tanα==
故答案为：．
3．（2018•南沙区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=____．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得
=，即=，
∴AC=5．
由勾股定理，得
AB==13．
sinB==，
故答案为：．
知识点2 特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表：
【典例】
1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于 度．
【答案】70
【解析】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）=，sin60°=，
∴α﹣10°=60°，
∴α=70°．
2.4cos30°++|﹣2|= ．
【答案】3
【解析】解：原式==3
【方法总结】
1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。
2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。
【随堂练习】
1．（2018秋•马鞍山期末）若为锐角，且，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
而，
．
故选：．
2．（2018秋•昭平县期末）在中，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：中，，
为锐角．
，
．
故选：．
3．（2019•阳江一模）已知是锐角，且满足，则的大小为
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：，
，
．
故选：．
4．（2018秋•太仓市期末）如图，在中，，，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，
设，则，故，
故，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
故选：．
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
【典例】
1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
【答案】5或3
【解析】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD===4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD==，
∴CD=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
综上：BC长为5或3。
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥
【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt△OAB中，OB=5，AB=3，
∴OA==4，
∴tan∠OBA==．
∴a=||==tan∠AOC=tan∠OBA=．
故：a≥．
3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【答案】17或
【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′==，
故CD长为：17或．
【方法总结】
1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。
2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。
【随堂练习】
1．（2019•云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：如图：在中，，，则；
；
故选：．
2．（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接，过点作垂直于的延长线于点
在中，，在中，
，
，
设，则
在中，
，
，则，
在中，
，
在中，
故选：．
3．（2019•长沙）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是
A． B． C． D．10
【解答】解：如图，作于，于．
，
，
，设，，
则有：，
，
或（舍弃），
，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等）
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
4．（2019•广东二模）点在第二象限，与轴所夹的锐角为，，则的值为
A． B． C．2 D．3
【解答】解：如图，作轴于．
由题意：，
，
，，
，
，
故选：．
5．（2019•海港区校级自主招生）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则
A． B． C．2 D．3
【解答】解：如图，作于．
在中，，
，
，，
在中，，
，
故选：．
6．（2019•南海区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，那么的值是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作轴于．
，，
，，
，
，
故选：．
7．（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，已知中，，，过作交边于点，且，则
A．8 B． C．7 D．
【解答】解：，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
8．（2019•萧山区一模）如图，中，，点是边上一点．若，，则为
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，
在中，，
，
故选：．
9．（2019•路桥区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点，，，，均在格点上，连接，，，，线段的延长线交于点，则的值
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接和，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
10．（2019•江岸区校级模拟）如图，在中，，，，则长为
A．12 B．14 C． D．
【解答】解：如图，作于．
在中，，，，
，，
在中，，
，
，
故选：．
11．（2018秋•川汇区期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
则，
故选：．
12．（2018秋•如皋市期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点．若的顶点都在格点上，则的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，过点作于点，
则，，
，
，
故选：．
13．（2018秋•象山县期末）如图，网格中小正方形的边长都为1，点，，在正方形的顶点处，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如右图所示，
网格中小正方形的边长都为1，
，，，，
作于点，
，
，
解得，，
，，，
，
，
即，
故选：．
知识点4 解直角三角形应用
①坡度，坡角
如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。
②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角.
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40.
③仰角、俯角
如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.
【典例】
1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【答案】1.2
【解析】解：作DK⊥AH于K．
∵四边形DKHG是矩形，
∴DK=GH=3.05m，
在Rt△ADK中．AK==2.29（m），
∴DG=HK=AH﹣AK=AB+BH﹣AK=1.74+1.74﹣2.29≈1.2（m）
2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
【答案】
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），
所以 PQ﹣90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以 =（小时）
3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈，cos53°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈）
【答案】27.5
【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，
在Rt△ABG中，AB==13米，
∴BG=DF=AB=×19.5=7.5米，
在Rt△BCF中，BF==，
在Rt△CEF中，EF==，
∵BE=4，
∴BF﹣EF=﹣=5，
解得：CF=20．
∴教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米．
【方法总结】
1、 解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
2、 在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
【随堂练习】
1．（2019•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．
2．（2019•北碚区校级一模）休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m
【解答】解：如图，延长OA与BC交于点B，延长A'E，与BC的延长线交于点F，过点A'作A'H⊥OB于点H．
在Rt△OHA'中，
，，
∴OH＝0.8OA'＝0.8×2＝1.6（m），A'H＝0.6OA'＝0.6×2＝1.2（m），
∴AH＝OA﹣OH＝2﹣1.6＝0.4（m），HB＝HA+AB＝0.4+0.5＝0.9（m），A'F＝HB＝0.9（m），BF＝HA'＝1.2m，
∴CF＝BF﹣BC＝1.2﹣0.7＝0.5（m），
在Rt△EFC中，
，
EF＝＝×0.5＝0.2（m），
∴A'E＝A'F﹣EF＝0.9﹣0.2＝0.7（m）
故选：D．
3．（2019•渝中区校级三模）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝0.9m，即CN＝90cm时，CM＝60cm
∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，
∴sin∠ABE＝sin70°＝＝0.94
∴BC≈64cm
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）
故选：B．
4．（2019•沙坪坝区校级模拟）为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度，小南同学使用的无人机进行观察，当无人机与大金鹰侧面在同一平面，且距离水平面垂直高度GF为100米时，小南调整摄像头方向，当俯角为45°时，恰好可以拍摄到金鹰的头顶A点；当俯角为63°时，恰好可以拍摄到金鹰底座点E．已知大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方．则金鹰自身高度约（ ）米．（结果保留一位小数，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）
A．26.5 B．36.4 C．36.5 D．63.5
【解答】解：作AM⊥DF于M，AH⊥GF于H，如图所示：
则AM＝HF，AH＝MF，
在Rt△EFG中，∠GEF＝63°，
∵tan∠GEF＝，∴EF＝≈＝51.02，
∵石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，
∴石台侧面CE宽度为12.5×＝7.5，
∵石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方，
∴ME＝BC+7.5＝5+7.5＝12.5，
∴AH＝MF＝12.5+51.02＝63.52，
在Rt△AGH中，∠AGH＝90°﹣45°＝45°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴GH＝AH＝63.52，
∴AM＝HF＝100﹣63.52≈36.5（米）；
即金鹰自身高度约36.5米；
故选：C．
5．（2019•云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：如图：在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，则AC＝；
∴sin∠BAC＝＝＝；
故选：A．
6．（2019•沙坪坝区校级二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米
【解答】解：设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示：
在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2，
∴BH＝4（米），EH＝8（米），
∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形，
∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），
在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，
∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），
∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），
在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，
∴AM＝≈，
∴8+x﹣1.5≈，
∴x≈41.5（米），
∴CD≈41.5米，
故选：D．
7．（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC＝，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝
故选：D．
8．（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（ ）
A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D．+
【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ；
故选：C．
9．（2019•雨花区校级二模）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，
由i＝3：4，
可设AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，
∴9x2+16x2＝100，
解得：x＝2（负值舍去），
则AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
则BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故选：B．
10．（2019•长寿区模拟）如图，菩提山上灯一盏”是我区老八景之一．某人为了测量菩提山上的“塔式佛教圣灯”ED的高，他在山下某点A处测得塔尖D的仰角为45°，在沿AC方向前进24.40m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°．那么塔式佛教圣灯ED的高度约为（ ）（计算中≈1.7，≈1.4，结果保留两位小数）
A．35.78m B．37.54m C．39.53m D．40.52m
【解答】解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠EBC＝60°﹣30°＝30°．
又∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DBE＝∠BDE．
∴BE＝DE．
设EC＝xm，则DE＝BE＝2EC＝2xm，DC＝EC+DE＝x+2x＝3xm，
BC＝＝＝x，
由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC＝DC，
∴x+24.4＝3x，
解得：x＝，
2x＝≈37.54m．
答：塔高约为37.54m．
故选：B．
综合运用：锐角三角函数
1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC==5x，
EM==x，
CM==2x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM==．
2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD．
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
3.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，求△ABC的面积。
【解析】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD===，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD﹣CD=4，
∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10。
4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
【解析】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．
【解析】证明：如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB=，
∴AD=ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC=，
∴AD=ACsinC，
∴ABsinB=ACsinC，
而AB=c，AC=b，
∴csinB=bsinC，
∴=．
6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE=3或3或；
（3）∵由图可计算AC=5，BC=4，
∴AB=
∴sin∠BAC=．
7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【解析】解：（1）如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．
由题意：tan∠DAB==2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt△NBC中，tan37°===，
∴BN=x，
∵x+3+x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）如图，作FH⊥AB于H，
设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得=，
即=，
解得y=﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），
∴DF=2﹣7，
答：DF的长为（2﹣7）m．
8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH===20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．
9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】
【解析】解：（1）在Rt△EFH中，
∵∠H=90°，∴tan∠EFH=i=1：0.75==，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF==5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：（H﹣H1）==，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解析】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，
∴BC=CD﹣BD=AD=30，
∴AD=15≈25.98．
答：无人机飞行的高度25.98米。
第9讲 锐角三角函数
知识点1 正弦、余弦、正切
锐角三角函数相关概念
正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。
锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。
（1） 三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0
①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大
②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小
③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大.
【典例】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=
【答案】4；
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∴sinA==，
2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．
【答案】
【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO==2，
AC==，
OC==，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB===．
3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．
【答案】2
【解析】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC===4，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA===2．
【方法总结】
1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
2、相等的角相对应的三角函数值相等。
3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。
4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比.
【随堂练习】
1．（2017秋•东莞市校级月考）三角函数sin45°，cos16°，cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin45° B．cos16°＞cos43°＞sin45°
C．cos16°＞sin45°＞cos43° D．cos43°＞sin45°＞cos16°
【解答】解：∵sin45°=cos645，
又16°＜43°＜45°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin45°．
故选：B．
2．（2018•绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是___．
【解答】解：如图，
tanα==
故答案为：．
3．（2018•南沙区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=____．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得
=，即=，
∴AC=5．
由勾股定理，得
AB==13．
sinB==，
故答案为：．
知识点2 特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表：
【典例】
1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于 度．
【答案】70
【解析】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）=，sin60°=，
∴α﹣10°=60°，
∴α=70°．
2.4cos30°++|﹣2|= ．
【答案】3
【解析】解：原式==3
【方法总结】
1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。
2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。
【随堂练习】
1．（2018秋•马鞍山期末）若为锐角，且，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
而，
．
故选：．
2．（2018秋•昭平县期末）在中，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：中，，
为锐角．
，
．
故选：．
3．（2019•阳江一模）已知是锐角，且满足，则的大小为
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：，
，
．
故选：．
4．（2018秋•太仓市期末）如图，在中，，，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，
设，则，故，
故，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
故选：．
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
【典例】
1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
【答案】5或3
【解析】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD===4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD==，
∴CD=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
综上：BC长为5或3。
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥
【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt△OAB中，OB=5，AB=3，
∴OA==4，
∴tan∠OBA==．
∴a=||==tan∠AOC=tan∠OBA=．
故：a≥．
3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【答案】17或
【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′==，
故CD长为：17或．
【方法总结】
1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。
2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。
【随堂练习】
1．（2019•云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：如图：在中，，，则；
；
故选：．
2．（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接，过点作垂直于的延长线于点
在中，，在中，
，
，
设，则
在中，
，
，则，
在中，
，
在中，
故选：．
3．（2019•长沙）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是
A． B． C． D．10
【解答】解：如图，作于，于．
，
，
，设，，
则有：，
，
或（舍弃），
，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等）
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
4．（2019•广东二模）点在第二象限，与轴所夹的锐角为，，则的值为
A． B． C．2 D．3
【解答】解：如图，作轴于．
由题意：，
，
，，
，
，
故选：．
5．（2019•海港区校级自主招生）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则
A． B． C．2 D．3
【解答】解：如图，作于．
在中，，
，
，，
在中，，
，
故选：．
6．（2019•南海区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，那么的值是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作轴于．
，，
，，
，
，
故选：．
7．（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，已知中，，，过作交边于点，且，则
A．8 B． C．7 D．
【解答】解：，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
8．（2019•萧山区一模）如图，中，，点是边上一点．若，，则为
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，
在中，，
，
故选：．
9．（2019•路桥区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点，，，，均在格点上，连接，，，，线段的延长线交于点，则的值
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接和，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
10．（2019•江岸区校级模拟）如图，在中，，，，则长为
A．12 B．14 C． D．
【解答】解：如图，作于．
在中，，，，
，，
在中，，
，
，
故选：．
11．（2018秋•川汇区期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
则，
故选：．
12．（2018秋•如皋市期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点．若的顶点都在格点上，则的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，过点作于点，
则，，
，
，
故选：．
13．（2018秋•象山县期末）如图，网格中小正方形的边长都为1，点，，在正方形的顶点处，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如右图所示，
网格中小正方形的边长都为1，
，，，，
作于点，
，
，
解得，，
，，，
，
，
即，
故选：．
知识点4 解直角三角形应用
①坡度，坡角
如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。
②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角.
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40.
③仰角、俯角
如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.
【典例】
1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【答案】1.2
【解析】解：作DK⊥AH于K．
∵四边形DKHG是矩形，
∴DK=GH=3.05m，
在Rt△ADK中．AK==2.29（m），
∴DG=HK=AH﹣AK=AB+BH﹣AK=1.74+1.74﹣2.29≈1.2（m）
2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
【答案】
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），
所以 PQ﹣90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以 =（小时）
3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈，cos53°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈）
【答案】27.5
【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，
在Rt△ABG中，AB==13米，
∴BG=DF=AB=×19.5=7.5米，
在Rt△BCF中，BF==，
在Rt△CEF中，EF==，
∵BE=4，
∴BF﹣EF=﹣=5，
解得：CF=20．
∴教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米．
【方法总结】
1、 解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
2、 在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
【随堂练习】
1．（2019•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．
2．（2019•北碚区校级一模）休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m
【解答】解：如图，延长OA与BC交于点B，延长A'E，与BC的延长线交于点F，过点A'作A'H⊥OB于点H．
在Rt△OHA'中，
，，
∴OH＝0.8OA'＝0.8×2＝1.6（m），A'H＝0.6OA'＝0.6×2＝1.2（m），
∴AH＝OA﹣OH＝2﹣1.6＝0.4（m），HB＝HA+AB＝0.4+0.5＝0.9（m），A'F＝HB＝0.9（m），BF＝HA'＝1.2m，
∴CF＝BF﹣BC＝1.2﹣0.7＝0.5（m），
在Rt△EFC中，
，
EF＝＝×0.5＝0.2（m），
∴A'E＝A'F﹣EF＝0.9﹣0.2＝0.7（m）
故选：D．
3．（2019•渝中区校级三模）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝0.9m，即CN＝90cm时，CM＝60cm
∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，
∴sin∠ABE＝sin70°＝＝0.94
∴BC≈64cm
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）
故选：B．
4．（2019•沙坪坝区校级模拟）为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度，小南同学使用的无人机进行观察，当无人机与大金鹰侧面在同一平面，且距离水平面垂直高度GF为100米时，小南调整摄像头方向，当俯角为45°时，恰好可以拍摄到金鹰的头顶A点；当俯角为63°时，恰好可以拍摄到金鹰底座点E．已知大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方．则金鹰自身高度约（ ）米．（结果保留一位小数，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）
A．26.5 B．36.4 C．36.5 D．63.5
【解答】解：作AM⊥DF于M，AH⊥GF于H，如图所示：
则AM＝HF，AH＝MF，
在Rt△EFG中，∠GEF＝63°，
∵tan∠GEF＝，∴EF＝≈＝51.02，
∵石台侧面CE长12.5米，坡度为1：0.75，
∴石台侧面CE宽度为12.5×＝7.5，
∵石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方，
∴ME＝BC+7.5＝5+7.5＝12.5，
∴AH＝MF＝12.5+51.02＝63.52，
在Rt△AGH中，∠AGH＝90°﹣45°＝45°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴GH＝AH＝63.52，
∴AM＝HF＝100﹣63.52≈36.5（米）；
即金鹰自身高度约36.5米；
故选：C．
5．（2019•云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：如图：在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，则AC＝；
∴sin∠BAC＝＝＝；
故选：A．
6．（2019•沙坪坝区校级二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米
【解答】解：设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示：
在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2，
∴BH＝4（米），EH＝8（米），
∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形，
∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），
在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，
∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），
∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），
在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，
∴AM＝≈，
∴8+x﹣1.5≈，
∴x≈41.5（米），
∴CD≈41.5米，
故选：D．
7．（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC＝，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝
故选：D．
8．（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（ ）
A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D．+
【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ；
故选：C．
9．（2019•雨花区校级二模）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，
由i＝3：4，
可设AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，
∴9x2+16x2＝100，
解得：x＝2（负值舍去），
则AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
则BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故选：B．
10．（2019•长寿区模拟）如图，菩提山上灯一盏”是我区老八景之一．某人为了测量菩提山上的“塔式佛教圣灯”ED的高，他在山下某点A处测得塔尖D的仰角为45°，在沿AC方向前进24.40m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°．那么塔式佛教圣灯ED的高度约为（ ）（计算中≈1.7，≈1.4，结果保留两位小数）
A．35.78m B．37.54m C．39.53m D．40.52m
【解答】解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠EBC＝60°﹣30°＝30°．
又∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DBE＝∠BDE．
∴BE＝DE．
设EC＝xm，则DE＝BE＝2EC＝2xm，DC＝EC+DE＝x+2x＝3xm，
BC＝＝＝x，
由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC＝DC，
∴x+24.4＝3x，
解得：x＝，
2x＝≈37.54m．
答：塔高约为37.54m．
故选：B．
综合运用：锐角三角函数
1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC==5x，
EM==x，
CM==2x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM==．
2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD．
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
3.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，求△ABC的面积。
【解析】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD===，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD﹣CD=4，
∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10。
4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
【解析】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．
【解析】证明：如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB=，
∴AD=ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC=，
∴AD=ACsinC，
∴ABsinB=ACsinC，
而AB=c，AC=b，
∴csinB=bsinC，
∴=．
6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE=3或3或；
（3）∵由图可计算AC=5，BC=4，
∴AB=
∴sin∠BAC=．
7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【解析】解：（1）如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．
由题意：tan∠DAB==2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt△NBC中，tan37°===，
∴BN=x，
∵x+3+x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）如图，作FH⊥AB于H，
设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得=，
即=，
解得y=﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），
∴DF=2﹣7，
答：DF的长为（2﹣7）m．
8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH===20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．
9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】
【解析】解：（1）在Rt△EFH中，
∵∠H=90°，∴tan∠EFH=i=1：0.75==，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF==5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：（H﹣H1）==，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解析】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，
∴BC=CD﹣BD=AD=30，
∴AD=15≈25.98．
答：无人机飞行的高度25.98米。
相关试卷
北师大版九年级下册1 圆习题： 这是一份北师大版九年级下册1 圆习题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第15讲与圆有关的位置关系及计算--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第15讲与圆有关的位置关系及计算--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
初中数学北师大版九年级下册1 圆课后练习题： 这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆课后练习题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第14讲圆的有关性质--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第14讲圆的有关性质--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
北师大版九年级下册1 二次函数课堂检测： 这是一份北师大版九年级下册1 二次函数课堂检测，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第12讲二次函数与方程不等式综合--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第12讲二次函数与方程不等式综合--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
