初中数学北师大版九年级下册1 二次函数习题

第11讲 二次函数的实际问题

知识点1二次函数的实际问题之利润问题

1.利润、售价、进价之间的关系：

利润=售价-进价。

2.总利润、单价利润、数量之间的关系：

总利润=单件利润×数量。

【典例】

【题干】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）

A.  y=（x﹣40）（500﹣10x）            B.  y=（x﹣40）（10x﹣500）

C.  y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]    D.  y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]

2.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：①若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣x+150，成本为20元/件，月利润为W内（元）；②若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，月利润为W外（元）．

（1）若只在国内销售，当x=1000（件）时，y=　　（元/件）；

（2）分别求出W内、W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．

【方法总结】

解这类题方法是：

（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；

（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式,把二次函数化成顶点式来求题目中的最大值。

【随堂练习】

1．（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个与销售单价（元符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出与的函数关系式；

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

知识点2：二次函数的实际问题之轨迹问题

1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。

2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。

3.利用待定系数法求二次函数的解析式。

4.运用已求二次函数的解析式解决问题。

【典例】

1.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是________

2.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

【方法总结】

1.一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当 时，二次函数有最小（大）值

2.利用函数的观点来认识现实生活中的模型，可以用二次函数的最值来解决实际问题。

【随堂练习】

1．（2019•崂山区二模）某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为，宽度为6米，现以地面所在的直线）为轴建立平面直角坐标系（如图1所示）

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？

（3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架“（由四根木杆组成），使，两点在抛物线上．，两点在地面上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？

知识点3二次函数的实际问题之面积问题

1.二次函数的应用中动点产生的图形面积问题；

2. 二次函数的最值：

一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；

当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；

【典例】

1.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为　     　，当x=　  　时，种植面积最大=　   　m2．

2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．

4.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【方法总结】

根据图形的形状列出函数的解析式，再确定自变量的取值范围，根据二次函数的顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）；

【随堂练习】

1．（2019春•西岗区期末）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园（院墙长25米）．现有40米长的篱笆．

（1）请你设计一种围法（篱笆必须用完），使矩形花园的面积为150米．

（2）如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？

知识点4二次函数的实际问题之函数图象问题

【典例】

（2019•宜兴市一模）某制衣企业直销部直销某类服装，价格（元与服装数量（件之间的关系如图所示，现有甲乙两个服装店，计划在“五一”前到该直销部购买此类服装，两服装店所需服装总数为120件，乙服装店所需数量不超过50件，设甲服装店购买件，如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装，两服装店需付款总和为元．

（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．

（2）若甲服装店购买不超过100件，请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？

【方法总结】

这种题型先观察图象，确定两个变量的关系，并根据题意来确定相应的关系式或最值

【随堂练习】

1．（2019•卫辉市一模）小王从同事小李手中接收一批生产任务，派单方要求必须在15天内完成，届时承以每件60元的价格全部回收，小王在接受任务之后，其生产的任务（件与生产的天数（天关系如图1所示，其中在生产6天之后，每天的生产数量达到了30件．

（1）求与之间的函数表达式；

（2）设第天生产的产品成本为元件，与的函数图象如图2所示，若小王第天的利润为元，求与的关系式，并求出第几天后小王的利润可达到最大值，最大值为多少？

综合运用：二次函数的实际应用

1.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

（1）用x的代数式表示t为：t=　  　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2=　  　；当　  　＜x＜　  　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。

（1）求AD的长；

（2）设CP=，问当为何值时，的面积达到最大？求出最大值。

3.一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出．

（1）用含x的代数式填空：

①x天后每斤海鲜的市场价为　 　元；

②x天后死去的海鲜共有　 　斤；死去的海鲜的销售总额为　 　元；

③x天后活着的海鲜还有　  　斤；

（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式；

（3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式．

4.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？

（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．

①用含a的代数式表示k；

②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值．

6.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．

根据所给图表信息，解决下列问题：

（1）m=　 　，解释m的实际意义：　　；

（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；

（3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．