初中数学北师大版八年级下册3 三角形的中位线达标测试

第13讲  中位线定理

知识点1：三角形的中位线

1.三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形共有三条中位线．

2.三角形中位线的性质：

（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）三角形的中位线将三角形分成两部分的面积之比为1:3．

3.三角形中位线逆定理：

（1）在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线．

（2）在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．　

【典例】

例1（2020秋•孟津县期末）如图，在三角形△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正确证明GF＝CF是关键．

例2 （2020秋•农安县期末）【教材呈现】

如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．

【结论应用】

（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．

（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为_________．

【方法总结】

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•肇源县期末）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．

（1）求证：BD＝DE；

（2）求DM的长．

2．（2020秋•万州区校级期中）如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．

（1）求证：DE＝CF；

（2）求EF的长．

知识点2：中点四边形

不同的四边形的中点四边形如下：

（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形；

（2）平行四边形的中点四边形是平行四边形；

（3）菱形的中点四边形是矩形；

（4）矩形的中点四边形是菱形；

（5）正方形的中点四边形是正方形；

【典例】

例1（2020秋•武功县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，分别连接AF，BG，CH，DE，得到一个新的四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积为_________．

【方法总结】

本题主要考查了中点四边形，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系．

例2（2020春•东海县期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为_________．

【方法总结】

本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

例3 （2020春•西工区校级期中）如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．

（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）

【方法总结】

本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定及性质、平行四边形的判定及性质以及正方形的判定，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

【随堂练习】

1．（2020•中山市一模）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_________．

2．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．

知识点3： 多边形的内角和

多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180° （n≥3），且n为整数）

正多边形的每个内角等于.

【典例】

例1 （2020秋•路北区期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．10或11或12

【方法总结】

本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．

例2（2020秋•高安市期中）一个正多边形的每个内角为108°，则这个正多边形所有对角线的条数为_________．

【方法总结】

本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形外角和度数为360°，n边形多角线条数为．

【随堂练习】

1．（2020秋•沭阳县期中）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、AE，则∠CAE的度数为_________．

2．（2020秋•东莞市期末）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为_________．

知识点4 多边形的外角、外角和

多边形的外角和等于360°．

正多边形的每个外角等于.

【典例】

例1（2020秋•河池期中）计算：如图所示，求下列各图中的x．

【方法总结】

本题考查多边形的外角和、内角和，理解和掌握多边形的外角和、内角和的计算方法是解决问题的关键．

例2（2020秋•温岭市期中）已知一个n边形的每个内角是135°．

（1）求n；

（2）求这个n边形的内角和．

【方法总结】

此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的外角和等于360°．多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）．

【随堂练习】

1．（2020秋•金昌期中）一个多边形除去一个内角后，其余内角的度数和是2100°，求其多边形的边数和除去的内角的度数．

2．（2020秋•漳平市期中）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°．

（1）求这个多边形的边数．

（2）求这个多边形的内角和及对角线的条数．

综合运用　　

1．（2020秋•盘龙区期末）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝_______．

2．（2020秋•九龙坡区校级期中）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝_______．

3．（2020秋•固始县期中）小刚从点A出发，前进10米后向右转60°，再前进10米后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，他能回到A点吗？当他第一次回到A点，他走了多少米？

4．（2020秋•郁南县校级月考）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．

5．（2020•浙江自主招生）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC中点，延长BA、FE交于M，延长FE，CD交于N．求证：∠AME＝∠N．

6．（2020春•白云区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）；

（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．

7．（2020•丹江口市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，SABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_______．

8．（2020春•青云谱区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．

（1）求证：AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．

9．（2020春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．