初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教课内容课件ppt

12.3　角的平分线的性质

第2课时

学习目标

1.掌握角平分线的判定定理，了解角平分线性质及判定在生活、生产中的应用，并能用这些方法解决简单的数学问题.

2.经历探究角平分线判定的过程，发展合情推理能力和演绎推理能力，进一步发展推理证明意识和能力.

自主学习

学习任务一　回顾知识

1.角的平分线的性质定理的内容是什么？其中题设和结论是什么？

2.角的平分线的性质的作用是证明什么？

3.填空：如图1，

图1

∵ OC平分∠AOB，AC⊥OA，CB ⊥OB，

∴ 　　　(角的平分线的性质定理).

学习任务二　探究角的平分线的判定

把角的平分线的性质的题设和结论交换后得出什么命题？它是否正确？如何证明？

题设、结论交换后，题设：　      　　　；

结论：　       　　　.

证明上面的猜想.

已知：如图1，CA⊥OA于点A，BC⊥OB于点B，AC＝BC.

求证：　       　　　.

证明：∵ CA⊥OA，BC⊥OB，

∴ ∠A＝∠B＝90°.

在Rt△AOC和Rt△BOC中，

∴ Rt△AOC≌Rt△BOC(　　　　 ).

∴ 　　　　　　　　　，

即OC平分∠AOB.

归纳角的平分线的判定：　        　　　　　     　　.

用数学语言表示为(如图1)：

∵ 　　         　　，

∴ OC平分∠AOB.

学习任务三　角的平分线的判定的运用

如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处500 m(图中比例尺为1∶20 000).

图2

(1)集贸市场建于何处，和本节学的角的平分线的性质有关吗？用哪一个定理可以解决这个问题？

(2)比例尺为1∶20 000是什么意思？

(3)按下列步骤作图找出集贸市场P点：

第一步：用尺规作图法作出　　　　　　　　　 OP.

第二步：在射线OP上截取　　　　　　，确定C点，C点就是集贸市场所建地.

合作探究

如图3，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.

求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

图3

分析：点P到AB，BC，CA的垂线段PD，PE，PF的长就是P点到三边的距离，要证点P到三边AB，BC，CA的距离相等，即要证　　　　.而BM，CN分别是∠ABC，∠ACB的平分线，根据角的平分线的性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：如图3，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.

∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴ PD＝PE(　　　　　　　　　　　　).

同理，PE＝PF.

∴ 　　         　　，

即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

当堂达标

1.如图4，已知AC⊥BC，点E在AB上，AE＝AC，DE⊥AB，则下列结论不成立的是(　　)

A.AD平分∠BAC  B.∠BAC＝∠BDE

C.DC＝DE  D.∠ADE＝∠BDE

图4　　　　　　　　图5　

2.如图5，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是(　　)

A.∠DOP＝∠EOP  B.OD＝OE

C.∠DPO＝∠EPO  D.PD＝OD

3.如图6，在直线MN上找到点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，符合条件的有(　　)

A.0个  B.1个

C.2个  D.3个

4.如图7，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，

BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.

     　　　　图7    　　

5.已知：如图8，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.

求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；

(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.

     　　图8 　　　

课后提升

如图9，已知∠A＝∠B＝90°，∠BCD，∠ADC的平分线交AB于点E.

求证：(1)AE＝BE；

(2)∠DEC＝90°.

     　　图9   　

反思感悟

我的收获：

我的易错点：

参考答案

当堂达标

1.D　2.D　3.B

4.证明：在△BDF和△CDE中，

∴ △BDF≌△CDE，∴ DF＝DE.

∴ 点D在∠BAC的平分线上，∴ AD平分∠BAC.

5.证明：(1)∵ ∠1＝∠2，OE⊥AC，OD⊥AB，

∴ OE＝OD.

在△OEC和△ODB中，

∴ △OEC≌△ODB(ASA)，

∴ OB＝OC.

(2)∵ OE⊥AC，OD⊥AB，

∴ ∠OEC＝∠ODB＝90°.

在△OEC和△ODB中，

∴ △OEC≌△ODB(AAS)，

∴ OE＝OD.

∴ 点O在∠CAB的平分线上，

∴ ∠1＝∠2.

课后提升

证明：(1)过点E作EF⊥DC于点F(图略).

∵ 点E是∠BCD，∠ADC的平分线的交点，

又∵ DA⊥AB，CB⊥AB，EF⊥DC，

∴ AE＝EF，BE＝EF，即AE＝BE.

(2)∵ ∠A＝∠B＝90°，∴ AD∥BC.

∴ ∠ADC+∠BCD＝180°.

又∵ ∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD，

∴ ∠EDC+∠ECD＝90°.

∴ ∠DEC＝180°-(∠EDC+∠ECD)＝90°.