北师大版九年级下册1 圆达标测试

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第14讲 圆的有关性质

知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB(⌒),读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如.
小于半圆的弧叫做劣弧，如。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是

【答案】GH
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是

【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，

则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为

【答案】18m
【解析】解：如图，连结OA，

∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，OD==5，
∴CD=OC+CD=13+5=18m．
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径

【答案】3.25cm
【解析】解：如图，连接OA交BC于点E，

设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r==3.25cm．
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（2019•庐阳区二模）如图，是的直径，弦于点，连接过点作于点，若，，则的长度是　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
是的直径，弦，
，
在中，，即，
解得，，
则，
，
，
，
，
故选：．

2．（2019•滨州模拟）如图，某下水道的横截面是圆形的，水面的宽度为，是线段的中点，经过圆心交与点，，则直径的长是　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，
是弦的中点，过圆心，
．
．
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理，得
．
解得，
的直径为．
故选：．

3．（2019•黔东南州一模）如图，的直径为，弦为，是弦上一点且不与点、重合．若的长为整数，则符合条件的点有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：连接，作于，
则，
由勾股定理得，，
则，
则符合条件的点有3个，
故选：．

4．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选：．
5．（2019•长沙模拟）如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点，已知，，则的半径为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，
故选：．

6．（2019•滨湖区一模）如图，在中，已知弦长为，为的中点，交于点，且，则长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
为的中点，
，
，
，
设，则，
，
由勾股定理得，，即，
解得，（负值舍去），
则，
故选：．

7．（2019•阳谷县一模）已知在半径为5的中，，是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点，且，则弦的长为　　

A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：作于，于，连接，
则四边形为矩形，
，，，
，
四边形为正方形，
，
由勾股定理得，，
，
，
故选：．

8．（2019•柯桥区模拟）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为　　

A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如图所示，连接．
的直径，
则的半径为，
即，
又，
所以，
，垂足为，
，
在中，，
．
故选：．

9．（2018秋•柳州期末）如图，为的弦，半径于点，且，，则的长为　　

A．1 B．2 C．2.5 D．5
【解答】解：连接，
半径，
，
，
，
，
．
故选：．

10．（2018秋•海曙区期末）如图，圆半径为，弓形高为，则弓形的弦的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过作于，交于，
，，
，
又，
中，，
．
故选：．


知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。
（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于

【答案】40°
【解析】解：如图，连接BF，

∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

【答案】57°
【解析】解：∵==，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是

【答案】26°
【解析】解：如图，

由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．（2019•东西湖区模拟）如图，的半径为2，，在上且，若点，，分别为，、上的动点，则的最小值为　　

A． B． C．1 D．
【解答】解：如图，作交的延长线于．连接．

在中，，，
，
当，时，的值最小，
，
，
故的最小值为，
故选：．
2．（2019•东台市模拟）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：的度数为，
，
半径，
，
．
故选：．
3．（2019•资中县一模）如图，，是的直径，，若，则的度数是　　

A ． B ． C ． D ．
【解答】解：，
，
，

．
故选：．
4．（2018秋•邗江区校级月考）下列语句，错误的是　　
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解：、直径为弦，所以选项的说法正确；
、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以选项的说法正确；
、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项的说法错误；
、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以选项的说法正确．
故选：．
5．（2018秋•泉山区校级月考）下列语句，错误的是　　
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解：直径是弦，正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确，不符合题意；
故选：．
6．（2018秋•仪征市校级月考）如图， 在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为　　

A ． B ． C ． D ．
【解答】解：，，
，
，
，
，
的度数为．
故选：．
7．（2018秋•新罗区校级期中）如图所示，在中，，，，是上四点，，交于点，，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：连接，，
，
．
在与中，，
，
，故①正确；
，即，
，故④正确；
连结．
，
，
，故③正确；
不一定等于，
弧弧不一定等于弧，
不一定等于，
故②不正确．
正确的有3个，故选．



知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是

【答案】2
【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1，
∴BD===，
∴BC=2BD=2
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为

【答案】65°
【解析】解：如图连接AD，

∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（2019•温州三模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝112°，则∠α＝（　　）

A．68° B．112° C．136° D．134°
【解答】解：作对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣112°＝68°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×68°＝136°．
故选：C．

2．（2019•邵阳县模拟）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（　　）

A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8×＝4．
故选：B．
3．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4.8
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
4．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝45°，
故选：B．
5．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（　　）

A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
【解答】解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，
∴∠D＝∠A．
故选：D．
6．（2019•黔东南州一模）如图，BC为⊙O的直径，AB＝OB．则∠C的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝OB，
∴BC＝2AB，
∴sinC＝＝，
∴∠C＝30°．
故选：A．
7．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠A＝∠BOC＝50°．
故选：A．
8．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）

A．6 B．3 C．6 D．12
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝×6＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：A．
9．（2019•江西模拟）如图，BC为直径，∠ABC＝35°，则∠D的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠ACB＝90°﹣35°＝55°，
∴∠D＝∠C＝55°，
故选：C．
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知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为　 ．

【答案】155°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，

∵为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155°
2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　 　

【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，
∴∠A=55°
3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为　 　cm2．

【答案】31
【解析】解：如图，连接AC．

∵∠ADC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AE，AB⊥CF，
∵S阴=S△AEC+S△AFC=•AE•CD+•CF•AB=×4×5+×6×7=31（cm2）
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（2018秋•滨江区期末）已知圆内接四边形中，，则的大小是　　
A． B． C． D．
【解答】解：四边形为圆的内接四边形，
，
而，
．
故选：．
2．（2019•兰州）如图，四边形内接于，若，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形内接于，
，
．
故选：．
3．（2019•南昌一模）如图，，，，四个点均在上，，弦的长等于半径，则的度数等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
由题意得，，
是等边三角形，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．

4．（2019•富顺县三模）四边形内接于圆，、、、的度数比可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、，所以选项不正确；
、，所以选项不正确；
、，所以选项正确；
、，所以选项不正确．
故选：．
5．（2018秋•定兴县期末）如图，四边形为圆内接四边形，，则的度数为　　

A． B． C． D．无法求
【解答】解：四边形为圆内接四边形，
，
故选：．
二．填空题（共3小题）
6．（2019•海淀区校级三模）如图，点，，，是上的四个点，点是弧的中点，如果，那　　．

【解答】解：四边形内接于，
，
．
点是弧的中点，
弧弧．
．
．
故答案为．
7．（2019•铜仁市）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为　　；

【解答】解：四边形为的内接四边形，
，
故答案为：
8．（2019•台州）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为　　．

【解答】解：圆内接四边形，
，
点关于的对称点在边上，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
9．（2018秋•中山区期末）如图，四边形内接于，，求的度数．

【解答】解：，
，
．
综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。

【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。
（2）如图，连接BC，

∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
答：BE长为2。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。

【解析】解：如图，连接OB，

设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB²=OA²+AB²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。
答：⊙O的半径为3.4cm。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。

【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：

由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=BC=6、FC=CD=，
∴OF===，
则E′F=OE′+OF=6+=
答：EF的最大值为。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．

【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC==6（cm），
∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）；
答：AC长6cm；BD长5cm。
（2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积
=×6×8+×5×5=49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2 。
6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．

【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，如图1：

∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，

又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．