初中数学北师大版九年级下册1 圆课后练习题

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第14讲 圆的有关性质

知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB(⌒),读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如.
小于半圆的弧叫做劣弧，如。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是

【答案】GH
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是

【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，

则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为

【答案】18m
【解析】解：如图，连结OA，

∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，OD==5，
∴CD=OC+CD=13+5=18m．
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径

【答案】3.25cm
【解析】解：如图，连接OA交BC于点E，

设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r==3.25cm．
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（2019•利川市一模）如图，为直径，于点，于，过圆心，且．则四边形的面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：为直径，，
，
，
，，
，
在和中

，
，
，
，
，
，
，，
同理，，
连接，
，，、过，
由垂径定理得：，，
四边形的面积，
故选：．
2．（2019•渝中区校级三模）如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结．若，
，则的长为　　

A．3 B．4 C．5 D．2.5
【解答】解：设的半径为．
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
3．（2019•梧州）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　

A． B． C． D．
【解答】解：过点作于点，于，连接、，如图所示：
则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：．

4．（2019•金华模拟）如图，以为圆心，3为半径的圆与轴交于点、，是上异于、的一动点，直线与分别交轴于点、，以为直径的交轴于点、，则的长　　

A． B．5 C． D．不能确定
【解答】解：，，
，
，
，
，设，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
5．（2019•剑阁县模拟）如图，为的直径，，为的弦，已知于点，，现要作的另一条弦，使得且，则的长度为　或　．

【解答】解：当、在圆心的两侧时，如图，连接、，
，，
，，
，
在中，，
同理：，
则，
，
当、在圆心的同侧时，，
；
故答案为：或．

6．（2019•广元一模）如图，在平面直角坐标系中，的半径为5，弦的长为6，过作于点，内一点的坐标为，当弦绕点顺时针旋转时，点到的距离的最小值是　　．

【解答】解：连接，如图所示：
，
，
由勾股定理得，，
当时，点到的距离的最小，
由勾股定理得，，
点到的距离的最小值为：，
故答案为：．

7．（2019•鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，函数的图象被截得的弦长为2，则的值为　　．

【解答】解：作轴于，交于，作于，连结，如图，的圆心坐标为，，
，，
把代入得，
点坐标为，，
，
，
，
在中，，
，
，
当时，；当时，，
，，
，，
轴，
，
，
，
，
，
故答案为：．

8．（2019•鹿城区校级二模）如图，是半圆的直径，，为弦，于，交半圆于点，于，若，则的长为　6　．

【解答】解：是半圆的直径，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
故答案为：6．
9．（2019•嘉兴）如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为　　．

【解答】解：连接，如图，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
而时，最小，此时，
的最大值为，
故答案为：．
10．（2019•怀柔区二模）如图，在中，直径于点，为直径上一点，且，过作弦，．则弦，，，中最短的是　　．

【解答】解：如图连接，，过点作于，
显然，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理，，
为直径，
，
弦，，，中最短的是，
故答案为．

11．（2019•淄川区一模）如图，是的直径，且，弦的长为8，若弦的两端在圆周上
滑动，始终与相交．记点，到的距离分别为，，则等于
　8　．

【解答】解：设、交于，作于，连接．
是的直径，且，弦的长为8，
，
，
．
，，，
，
，
，即，
，即，
，
．
故答案为：6．

12．（2019•呼和浩特模拟）如图，是的弦，点在上，以为边作等边三角形，点在圆内，且恰好经过点，其中，，则的长为　20　．

【解答】解：过作于，由垂径定理得：．
是等边三角形，，
，，
，
，，
，
，
即，
故答案为20．


知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。
（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于

【答案】40°
【解析】解：如图，连接BF，

∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

【答案】57°
【解析】解：∵==，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是

【答案】26°
【解析】解：如图，

由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．如图，在中，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接、，
，，
，
（都是半径），
．
故选：．

2．（2018秋•瑞安市期末）如图，，，是上的三点，，的圆心的两侧，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：过作的直径，交于．

在中，，
则，
同理可得：，
故．
故选：．
3．（2019•台湾）如图表示、、、四点在上的位置，其中，且，．若阿超在上取一点，在上取一点，使得，则下列叙述何者正确？　　

A．点在上，且 B．点在上，且
C．点在上，且 D．点在上，且
【解答】解：连接，，，
，且，，
，
在圆周上取一点连接，，
，
，
取的中点，连接，
则，
，
点在上，且，
故选：．

4．（2019•武汉模拟）如图，是的直径，是的弦．若，，则的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连，过点作直径，与交于点，连结，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
5．（2019•安徽一模）已知的直径为2，弧的度数为，点是弧的中点，点在直径上移动，则的最小值为　　

A．1 B．2 C． D．
【解答】解：过点关于的对称点，连接交于点，延长交圆与点，连接．
点与点关于对称，
，，
当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为．
点是的中点，
．
．
．
故选：．

6．（2019•衢州一模）如图， 已知和是的两条等弦 ．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，联结． 下列四个说法中：
①；②；③；④，正确的个数是　　

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【解答】解： 如图连接、；

，
，故①正确
，，
，，
，
，
，
，故②正确，
，
，
，，故④正确，
，
，故③正确，
故选：．
7．（2019•港南区四模）是外一点，、分别交于、两点， 已知、的度数别为、，则的度数为　　

A ． B ． C ． D ．
【解答】解：和所对的圆心角分别为和，
，，
，
．
故选：．
二．填空题（共2小题）
8．（2019•德州）如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为　　．

【解答】解：连接、，交于，如图，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
，
，，
在中，，①
在中，，②
解由①②组成的方程组得到，
．
故答案为．

9．（2019•青浦区二模）如图，在中，、为半径，连接，已知，，那么圆心到的距离为　　．

【解答】解：过作交于点，如右图所示：
由垂径定理可知，垂直平分，则，
，，
，
，
，即圆心到的距离为；
故答案为：．


知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是

【答案】2
【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1，
∴BD===，
∴BC=2BD=2
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为

【答案】65°
【解析】解：如图连接AD，

∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（2019•下城区二模）如图，为的直径，为延长线上的一点，在上（不与点，点重合），连接交于点，且．设，，下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：如图，连接，．

，
，
，
，
，，
，
，
，
①，
不妨设选项正确，则，，显然不满足①，故假设错误．
不妨设正确，则，，显然不满足①，故假设错误．
不妨设正确，则，，满足条件①，故选项正确．
不妨设正确，则，，显然不满足①，故假设错误．
故选：．
2．（2019•武汉模拟）如图，为的直径，为半圆的中点，为上一点，，则的长为　　

A． B．2 C． D．
【解答】解：连接、，延长，过作的延长线于，
为的直径，为半圆的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．

3．（2019•高青县一模）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连，则线段的最大值为　　

A．3 B． C． D．
【解答】解：如图，连接，作于．

，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大，
在中，，，
，，
在中，，
的最大值为，
故选：．
4．（2019春•北碚区校级期末）如图，的直径，，是上的两点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：是直径，
，
，
．
故选：．
5．（2019•中原区校级三模）如图所示，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于一点，交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
6．（2019•沙坪坝区校级二模）如图，是的直径，、为圆上两点，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
故选：．
7．（2019•泉山区校级二模）如图，、、是上的点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
故选：．
8．（2019•瑶海区校级一模）如图，是的直径，点，在上，，，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
是直径，
，
故选：．
9．（2019•碑林区校级模拟）如图，、是以线段为直径的上两点，若，且，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，

，
是直径，
，
．
故选：．

知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为　 ．

【答案】155°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，

∵为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155°
2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　 　

【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，
∴∠A=55°
3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为　 　cm2．

【答案】31
【解析】解：如图，连接AC．

∵∠ADC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AE，AB⊥CF，
∵S阴=S△AEC+S△AFC=•AE•CD+•CF•AB=×4×5+×6×7=31（cm2）
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（2019•镇江）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
四边形是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：．

2．（2019•十堰）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则　　

A．3 B． C． D．
【解答】解：连接，如图，
平分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．

3．（2019•凤翔县二模）如图，已知为四边形的外接圆，为圆心，若，，则的半径长为　　

A． B． C． D．3
【解答】解：连接，作直径，连接，
为四边形的外接圆，
，又，
为等边三角形，
，
由圆周角定理得，，
是的直径，
，
，
的半径长为，
故选：．

4．（2019•鼓楼区二模）如图，四边形是的内接四边形，平分，点是弧的中点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
平分，
，
故选：．
5．（2019•姜堰区二模）如图，四边形为的内接四边形，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：由圆周角定理得，，
四边形为的内接四边形，
，
故选：．
6．（2019•澄海区一模）如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接、，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形内接于，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
7．（2019•常熟市模拟）如图，四边形内接于，连接，．若，．则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
由圆周角定理得，，
四边形内接于，
，
故选：．
8．（2019•祥云县一模）如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形内接于，
，
故选：．
9．（2019•苏州一模）如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形内接于，，
，
，
，
，
，
．
故选：．

综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。

【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。
（2）如图，连接BC，

∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
答：BE长为2。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。

【解析】解：如图，连接OB，

设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB²=OA²+AB²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。
答：⊙O的半径为3.4cm。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。

【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：

由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=BC=6、FC=CD=，
∴OF===，
则E′F=OE′+OF=6+=
答：EF的最大值为。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．

【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC==6（cm），
∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）；
答：AC长6cm；BD长5cm。
（2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积
=×6×8+×5×5=49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2 。
6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．

【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，如图1：

∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，

又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．