七年级上册3.1.1 一元一次方程课堂检测

第10讲 一元一次方程的应用二

知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题

1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

公式为：

①工作量=工作效率×工作时间，②，③。

2、工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。

3、常用列式依据：“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1”，有些工程问题也可以分阶段“第一阶段工作量+第二阶段工作量=1”。

【典例】

1.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天，若甲、丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的工作，如果要求这个工程6天完成，问此工程是否能按期完成？

【解析】解：由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，设乙、丙还需天完成这项工程，根据题意得：

解得：

∵共需时间为天>6天

∴不能按期完成

答：此工程不能按期完成。

【方法总结】

1、本题可以分两个阶段：第一阶段“甲、丙合做3天”，第二阶段“乙、丙合做天”，可得“甲、丙合做3天”的工作量+“乙、丙合做天”的工作量=工作总量

2、对于问是否能按时完成任务的问题，先求实际完成任务的时间，再与规定时间做比较，得出是否能按时完成

2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需多少天？

【解析】解：由题意甲的工作效率为，设乙的工作效率为，则有

解得

乙的工作效率为

则还需天

所以完成这项工作共需4+5=9天

【方法总结】

1、分析表格，找出有用信息，求出甲、乙的工作效率是解本题的关键：由甲做3天，完成工作进度的，可求出甲的工作效率为；由第三天到第五天，甲乙合作两天时间，完成工作进度的，列式可求乙的工作效率为。

2、此题是典型的工程问题，需要分段分析，分清每段的情况

【随堂练习】

1．（2017秋•鞍山期末）一项工程，甲单独做12小时完成，乙单独做8小时完成，甲先单独做9小时，后因甲由其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？

【解答】解：设乙还要x小时完成，根据题意得：

×9+x=1，

解得：x=2．

答：乙还要2小时完成．

2．（2017秋•黄石期末）一项工程，由甲、乙、丙三人完成，甲单独做需10天完成，乙单独做需12天完成，丙单独需15天完成．现计划7天完成，乙、丙先合做3天后，乙有事，由甲、丙完成剩下工程，问：能否按计划完成？

【解答】解：设甲、丙完成剩下工程需要x天，

根据题意得：=1，

15+12+6x+4x=60，

10x=33，

x=3.3，

∵3.3+3＜7，

∴能按计划完成．

3．（2018春•唐河县期中）现加工一批机器零件，甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，现由乙先做1天，然后两人合作完成，共付给报酬600元，若按个人完成的工作量付给报酬，该如何分配？

【解答】解：设然后两人合作x天完成．

则列方程：+=1，

解得：x=2，

则甲、乙各做了工作量的．

故甲、乙平分300元．

故若按个人完成的工作量付给报酬，甲、乙各分300元．

知识点2  一元一次方程的实际问题-利润问题

销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

【典例】

1.东方食品厂2013年的利润（总产值-总支出）为200万元，2014年总产值比2013年增加了20%，总支出减少了10%．2014年的利润为780万元．问2013年总产值、总支出各是多少万元？

【解析】解：设2013年的总产值为万元，则2013年的总支出为万元，由题意得：

解得

则2013年的总支出：

答：2013年的总产值为2000万元，总支出为1800万元．

【方法总结】

1、本题由“总产值﹣总支出=利润”可得2013年总产值和总支出的关系，从而设未知数。

2、然后根据：2013年总产值×（1+20%）-2003年总支出×（1﹣10%）=780列方程。

2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是____

【解析】解：设甲种商品的原售价为元，则乙种商品的原售价为元，

依题意得：

解得x=210

则甲种商品的原售价为210元，则乙种商品的原售价为280元。

所以甲种商品的进价是元，乙种商品的进价为元

【方法总结】

题目中“两种商品原售价之和为490元”和“甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元”都是关于“原售价”的关系，所以这里我们设“原售价”为未知量比设“进价”更好列方程.

3. 某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营______

【解析】解：（1）设赚了15%的衣服的进价是元，

则：

解得：x=1700

进价是1700元．

（2）设赔了15%的衣服的进价是元，

则，

解得：y=2300

则：进价是2300元，

利润=总售价-总成本=1955×2-（1700+2300）=-90元

所以赔了90元．

【方法总结】

该题可以分别算出两件衣服的利润，求利润之和，或者用两件衣服的总售价减去总成本求出总利润。

【随堂练习】

1．（2017秋•襄城区期末）马刚家附近有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折，乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过500元，打9折；③超过500元，其中的500元仍打9折，超过500元的部分打8折．（假设两家超市相同商品的标价都一样）

（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲乙两个超市实付款分别是多少？

（2）当标价总额是多少元时，甲乙超市实付款一样？

【解答】解：（1）300×0.88=264（元），

300×0.9=270（元）．

答：当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款是264元，乙超市实付款是270元．

（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．

当一次性购物标价总额恰好是500元时，

甲超市实付款=500×0.88=440（元），

乙超市实付款=500×0.9=450（元）．

∵440＜450，

∴x＞500．

根据题意得0.88x=500×0.9+0.8（x﹣500），

解得：x=625．

答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样．

2．（2017秋•梁子湖区期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．

（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由．

（3）计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？

【解答】解：（1）设顾客在甲超市购物所付的费用为y甲，顾客在乙超市购物所付的费用为y乙，

根据题意得：y甲=300+0.8（x﹣300）=0.8x+60；y乙=200+0.85（x﹣200）=0.85x+30．

（2）他应该去乙超市，理由如下：

当x=500时，y甲=0.8x+60=460，y乙=0.85x+30=455，

∵460＞455，

∴他去乙超市划算．

（3）令y甲=y乙，即0.8x+60=0.85x+30，

解得：x=600．

答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．

3．（2017秋•费县期末）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标？

【解答】解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标，

根据题意得：120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500=80×500×40%，

解得：x=40．

答：每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标．

4．（2017秋•罗平县期末）现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行，某商场销售的一款电动车每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．

（1）求这款电动车每台的进价？（利润率==）．

（2）在这次促销活动中，商场销售了这款电动车100台，问盈利多少元？

【解答】解：（1）设这款电动车每台的进价为x元，

根据题意得：3270×0.8﹣x=9%x，

解得：x=2400．

答：这款电动车每台的进价为2400元．

（2）2400×9%×100=21600（元）．

答：该商场共盈利21600元．

知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题

设而不求（设中间参数）的问题

一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。

【典例】

1.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？

【解析】解：设每小时雨水增加量为a，每台水泵每小时的排水量为b，则根据积水量相同得

设用三台水泵需要小时将积水排尽，由题意得

．

答：用三台水泵需要小时将积水排尽．

【方法总结】

1、得到每小时雨水增加量为和每台水泵每小时的排水量的关系式是解决本题的突破点

2、设小时可排完积水，等量关系为：3台水泵小时的工作量﹣小时的积水量=1台水泵10小时的工作量-10小时的积水量

【随堂练习】

1．（2016秋•桂林期末）如图，点A，B是数轴上的两个点，点A表示的数为﹣4，点B在点A右侧，距离A点10个单位长度，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）填空：①数轴上点B表示的数为____；

②数轴上点P表示的数为________（用含t的代数式表示）．

（2）若另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P，Q同时出发，问点P运动多少秒能追上点Q？

（3）设AP和PB的中点分别为点M，N，在点P的运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．

【解答】解：（1）依题意得，①数轴上点B表示的数为 6；

②数轴上点P表示的数为 （3t﹣4）（用含t的代数式表示）．

故答案是：6；（3t﹣4）；

（2）依题意得，3t﹣4=10，

解得t=5；

答：若另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P，Q同时出发，问点P运动5秒能追上点Q；

（3）线段MN的长度不发生变化．

①如图，当点P在点A、B之间运动时，

MN=MP+NP=AP+PB=AB=5；

②当点P运动到点B的右侧时，

MN=MP﹣PB=AP﹣BP=（AP﹣PB）=AB=5；

③当点P运动到点B时，MN=MB=AB=5．

综上所述，线段MN的长度不发生变化，值为5．

2．（2016秋•沙坪坝区校级期末）张先生准备购买一套小户型商品房，他去A楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元/米2，面积如图所示（卫生间的宽未定，设宽为x米），张先生了解到在A楼盘购房有以下两种优惠方案：

方案一：整套房的单价是8000元/米2，其中厨房可免费赠送的面积；

方案二：整套房按原总价9折出售．

（1）用y1表示方案一中购买一套该户型商品房所需支付的总金额，用y2表示方案二中购买一套该户型商品房所需支付的总金额，分别求出y1、y2与x的关系式（用含x的代数式分别表示出y1、y2）

（2）求x取何值时，两种优惠方案所支付的总金额一样多？

（3）张先生考虑许久，决定再到B楼盘去了解情况，他得知该楼盘小户型（与A楼盘户型不同）商品房的单价为8300元/米2，优惠方式如下表：

经售房部介绍，张先生看中了一套房子，享受优惠后的总价格为292240元．

①试求该套房子的面积；

②按①题中这套房子的面积大小，请你帮张先生算一算，他应该在A、B楼盘中选择哪个更划算？

【解答】解：（1）∵厨房可免费赠送的面积；

∴收费面积为：×2×3=2，

∴y1=（18+12+×6+2x）×8000

=（32+2x）×8000

=16000x+256000，

y2=（18+12+6+2x）×8000×90%

=（36+2x）×8000×0.9

=14400x+259200；

（2）令（36+2x）×0.9=32+2x，

解得x=2．

故x=2时，两种优惠方案的总金额一样多；

（3）①[292240﹣150000×90%﹣（250000﹣150000）×85%]÷80%

=72240÷80%

=90300（元），

（250000+90300）÷8300=41（米2）．

答：该套房子的面积是41米2；

②41﹣18﹣12﹣6=5（米2），

14400x+259200=14400×5+259200=331200（元），

∵292240＜331200，

∴在A、B楼盘中选择B楼盘更划算．

3．（2016秋•市南区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为7，点B表示的数为﹣5，点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）线段AB的长度为____，数轴上点P和点Q表示的数分别为____、____　（用含t的代数式表示）；

（2）在点P和点Q的运动过程中，经过多少秒点P追上点Q？经过多少秒点B恰为PQ的中点？

（3）运动过程中，若时间t总满足|t+7|﹣|5﹣t|=12，则t的范围是____．

【解答】解：（1）线段AB的长度为7﹣（﹣5）=12，

当运动时间为t秒时，点P表示的数为7﹣3t，点Q表示的数为﹣t．

故答案为：12；7﹣3t；﹣t．

（2）当点P追上点Q时，有7﹣3t=﹣t，

解得：t=；

当点B恰为PQ的中点时，有2×（﹣5）=7﹣3t+（﹣t），

解得：t=．

（3）当t≤﹣7时，|t+7|﹣|5﹣t|=﹣t﹣7﹣5+t=﹣12，

∵﹣12≠﹣12，

∴t≤﹣7不合适；

当﹣7＜t≤5时，|t+7|﹣|5﹣t|=t+7﹣5+t=2t+2=12，

解得：t=5．

当t＞5时，|t+7|﹣|5﹣t|=t+7﹣t+5=12，

∵12=12，

∴t＞5．

综上所述：t的范围是t≥5．

故答案为：t≥5．

综合运用

1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?

【解析】设有支钢笔打9折，则有支钢笔是原价出售，可得：

解得：

答：打9折的钢笔有20支.

2.某商场按每台3500元新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价（就是价格牌上标出的价格），此商场为了促销，又对该电脑打折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台打多少折出售？

【解析】解：设该型号电脑每台打折销售．

由题意得：，

解得：x=8，

答：该型号电脑每台打八折销售．

3.某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配的机床总台数.

【解析】解：设这次任务需装配的机床总数为台，则

，

∴

解得：x=162，

答：这次任务需装配的机床总数为162台

4.某商店同时卖出两套西服，售出价均为1680元/套，以成本计算，其中一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此时商店盈利了还是亏损了？

【解析】解：设盈利20%的进价是x元，则

（1+20%）x=1680，

x=1400；

设亏损20%的进价是y元，

则有（1﹣20%）y=1680，

y=2100．

则进价和是1400+2100=3500元，售价和是1680×2=3360元，

3500﹣3360=140元．即亏损140元．

答：商店亏损了140元。

5. 某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．

（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？

（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？

（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？

【解析】解：（1）设共需分钟才能印完，列方程得：

，

解得x=36

答：两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完。

（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要分钟才能印完，则有

，

解得y=15

则y=15＞13，

答：会影响学校按时发卷考试；

（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了分钟印完试卷，

解得z=2.4

则有9+2.4=11.4分钟＜13分钟．

答：学校可以按时发卷考试．