人教版初二数学上册（秋季班）讲义 第1讲 三角形--基础班

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第1讲 三角形 知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。【随堂练习】1．（2019•鼓楼区校级模拟）若一个三角形的两边分别是3和6，则第三边不可能是　　A．6 B．7 C．8 D．92．（2019春•昌图县期末）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是　　A．3，4，8 B．4，4，9 C．5，7，12 D．7，8，93．（2019春•泉港区期末）已知直角三角形中，，，，．则的取值范围是　　A． B． C． D．4．（2019春•卧龙区期末）若三角形的两边长分别为3和8，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是　　A．3 B．5 C．8 D．125．（2019春•顺德区期末）以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是　　A．13、12、20 B．7、8、15 C．7、2、4 D．5、5、116．（2019春•定边县期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，7．（2019春•市南区期末）已知三角形两边长分别为4和6，则第三边的长不可能是　　A．4 B．6 C．8 D．108．（2019春•淮安区期末）下列各组线段不能组成一个三角形的是　　A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点2 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。【典例】1.如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若的面积是14，求△ABC的面积？【方法总结】本题已知：A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，所以我们连接AB1，BC1，CA1，使A1B、B1C、C1A成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC面积的关系。 知识点3三角形的高线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 2、三角形的面积：（1）三角形的面积：底与高乘积的一半（2）等底等高的两个三角形面积相等（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比【典例】1.如图，△ABC中，AB=AC，CG⊥AB于G，P为线段BC上的一动点，PK⊥AB于K，PM⊥AC于M，探究线段PK、PM与CG之间的数量关系．【方法总结】　 本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：连接AP，可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积，根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系．  知识点4 三角形的角平分线1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。【典例】1.已知△ABC，如图，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别在三角形的角平分线上，则∠D、∠A的关系为______【方法总结】角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角之间的关系。此题可记住结论：当BD、CD是三角形ABC的角平分线时，【随堂练习】1．（2019春•商河县期末）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是　　A． B． C． D．2．（2019春•侯马市期末）如图，在中，边上的高为　　A． B． C． D．3．（2019春•溧水区期末）下列四种说法：（1）如果，那么；（2）两个锐角的和是钝角；（3）任何数的平方大于或等于0；（4）三角形的三条高必在三角形内．其中正确的有　　个A．1 B．2 C．3 D．44．（2019•石景山区二模）如图所示在中，边上的高线画法正确的是　　A． B． C． D．5．（2019•葫芦岛模拟）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　A． B． C． D．6．（2018秋•宁城县期末）下面四个图形中，线段是的高的是　　A． B． C． D．7．（2019•路北区三模）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　A． B． C． D．8．（2019春•邢台期末）如图所示，中边上的高线是　　A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 知识点5 三角形的内角和定理 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°【典例】1.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，∠DAE=∠BAC，求∠BAC的度数.【方法总结】题目中没有给出角的度数，但是给了角度之间的关系，可以设未知数，用未知数来表示三角形中的角，利用三角形内角和为180°建立等量关系，求得未知数和所要求的角。【随堂练习】1．（2019春•玄武区期末）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2019春•兴城市期末）如图，已知：，平分，，，则下列结论：①；②平分；③平分；④；其中正确的结论个数是　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2019春•长春期末）如图，在中，平分交边于点，交边于点．若，，则的大小为　　A． B． C． D．4．（2019春•宁德期末）如图，已知是的角平分线，是边上的高，若，，则的大小是　　A． B． C． D．5．（2019春•九江期末）把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则的度数是　　A． B． C． D．6．（2019春•肥东县期末）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点恰好落在的延长线上，，则的大小为　　A． B． C． D．7．（2019春•历下区期末）如图，将纸片沿着折叠，若，则的大小为　　A． B． C． D．8．（2019春•淮北期末）如图，在中，，，，则的度数是　　A． B． C． D．二．填空题（共1小题）9．（2019春•宽城区期末）如图，点是的边延长线上一点，于点．若，，则的大小为　　度．知识点6 三角形的外角性质 1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．2、三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3、燕尾形结论：【典例】1.已知△ABC，若D点是△ABC外一点，位置如图所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，则∠D、∠A的关系为_______【方法总结】本题要求∠D与∠A的关系，可以从两个三角形的外角入手，由三角形外角性质可得：∠ACE=∠A+∠ABC①，∠DCE=∠D+∠DBE②，由①-2×②，可得如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．    【方法总结】本题求七角形各角的度数和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把这七个角凑到一个三角形里，再根据三角形的内角和等于180°求解【随堂练习】1．（2019春•西城区期末）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（　　）A．90° B．80° C．60° D．50°2．（2019春•资阳期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E．以下结论：①∠BDE＝∠BAC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2019春•平昌县期末）如图，∠A，∠1，∠2的大小关系为（　　）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠A＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠A D．∠2＞∠A＞∠14．（2019春•滨湖区期中）下列说法正确的是．（　　）A．三角形的中线、角平分线和高都是线段 B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a．b．c为边一定能组成三角形 C．三角形的外角大于它的任何一个内角 D．三角形的外角和是180°．5．（2019•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2019•眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°7．（2019春•淮阴区期中）将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　）A．80° B．75° C．60° D．55°8．（2019春•玄武区期中）如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，则∠E为（　　）A．22° B．26° C．28° D．30°二．填空题（共1小题）9．（2019春•正定县期末）把一副三角板按如图所示拼在一起，则∠ADE＝　   　． 综合运用1.如图，有一块三角形试验地，现引进四种良种进行比较实验，要将这块地分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案． 2.如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长度. 3.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC=8cm2，求△CEF的面积． 4.已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°5. 如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数.6. 如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC,求∠4的度数．7. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠A=76°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．