人教版八年级上册13.1.1 轴对称课后作业题

第5讲 轴对称图形

 知识点1 轴对称现象

1.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形.

2.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

【典例】

1.下列图形中，是轴对称图形的是____________，其中只有1条对称轴的是________，有3条对称轴的是________，有2条对称轴的是________．（只要求写图形序号）

【答案】（1）（2）（3）； （1）； （2）； （3） 

【解析】解：观察上述几幅图可发现，（1）（2）（3）都可以沿某条直线翻折，且直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形.

画出它们的对称轴如下：

其中只有1条对称轴的是（1），有3条对称轴的是（2），有2条对称轴的是（3）．

故答案为：（1）（2）（3）；（1）；（2）；（3）．

【方法总结】

判断一个图形是否是轴对称图形，只需把这个图形沿着某条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，则它是轴对称图形，反之则不是轴对称图形.

2.如图所示的图形中，属于轴对称图形的有__________________；两个图形成轴对称的有__________________．

【答案】①③④⑧⑩； ②⑤⑦⑨

【解析】解：属于轴对称图形的有①③④⑧⑩；

两个图形成轴对称的有②⑤⑦⑨．

故答案为：①③④⑧⑩；②⑤⑦⑨．

【方法总结】

轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系：

【随堂练习】

1．（2019•郑州二模）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到点之后，再循环反射，每6次一循环，，即点的坐标是，

故选：．

2．（2019春•硚口区月考）一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点滚向桌边的，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向桌边上的点，如此运动，球经过点反弹到上的点，经过点反弹到上的点．如果，，，、、、、都是线段，且的平分线，的平分线，的平分线，的平分线，且，那么的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

，，，

，

平分，

，

，

，

同理，

，

的平分线，

，，

，

故选：．

3．（2018秋•龙华区校级期末）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“”不能关于某条直线成轴对称的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：如图所示，，，选项中，两个字母“”关于直线成轴对称，

而选项中，两个字母“”不能沿着某条直线翻折互相重合，

故选：．

4．（2018秋•潜山县期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，．若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得：，，

，

，

．

故选：．

知识点2  轴对称的性质

对应点：折叠后重合的点；

对应线段：折叠后重合的线段；

对应角：折叠后重合的角.

轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角也相等，且关于直线对称的两个图形全等.

【典例】

1. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，

（1）结合图形指出对称点．

（2）找出其中相等的线段和相等的角.

（3）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

【解析】解：（1）由图可知，对称点有A和A′，B和B′，C和C′；

（2）相等的线段：AB=A′B′，AC=A′C′, BC=B′C′;

相等的角：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′;

（3）连接AA′，线段AA′被直线m垂直平分.

【方法总结】

1.本题考查了轴对称的性质，准确掌握对应点、对应线段的含义是解题的关键，还需清楚，对应点的连线被对称轴垂直平分.

2.两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形全等.

注：关于直线对称的两个图形一定全等，而全等的两个图形不一定对称.

2.如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为12，△ECF的周长为3，求四边形纸片ABCD的周长.

【答案】略

【解析】解：由折叠的可知，△ABE和△AFE关于直线AE对称，

则.

∴AF=AB，EF=BE．

四边形纸片ABCD的周长为:

CABCD=AB+BC+CD+AD

=AB+（BE+CE）+（CF+DF）+AD

∵AF=AB，EF=BE

∴原式=AF+EF+CE+CF+DF+AD

= （AF+ DF+ AD）+（EF+CE+CF）

=C△AFD+C△CFE

∵△AFD的周长为12，△ECF的周长为3，

∴CABCD= C△AFD+C△CFE

=12+3

=15.

故四边形ABCD的周长为15cm．

【方法总结】

本题考查的是图形的翻折（轴对称的一种），沿着翻折的那条线所在的直线相当于我们的对称轴，根据轴对称的性质可知，翻折前后的图形是全等的，从而可得出一些线段之间的相等关系，再将找到的这些相等关系和要求的线段之间建立联系，进行求解.

【随堂练习】

1．（2019春•太原期末）如图，点在直线上，与△关于直线对称，连接分别交，于点，连接，下列结论不一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图设交直线于．

与△关于直线对称，

△，，，，

，，

，，

，

故选项，，正确，

故选：．

2．（2019•台湾）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？　　

A．113 B．124 C．129 D．134

【解答】解：连接，

点分别以、为对称轴，画出对称点、，

，，

，，

，

，

故选：．

二．填空题（共5小题）

3．（2019春•贵阳期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为　4.5　．

【解答】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，

，，

，，，

，，

即，

则线段的长为：．

故答案为4.5．

4．（2019•岑溪市一模）如图，在中，，作点关于直线的对称点，连接．过点作交于点，若，，则的周长是　　．

【解答】解：过点作，交的延长线于点，连接，则，

、关于直线对称，

，

，，，

易证是矩形，

，

，

，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：，即：，

在中，，

的周长是：，

故答案为：．

5．（2019•椒江区一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，则线段长的取值范围是　　．

【解答】解：，，

，

连接、、，过点作于点，如图所示．

点关于直线、的对称点分别为、，

，，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，即，

，

．

故答案为：．

6．（2019•瑶海区二模）在中，，，，点为边上一点，且．点为边上的任意一点（不与点，重合），若点关于直线的对称点恰好落在的边上，则的长为　　．

【解答】解：在中，，，，

，

点关于直线的对称点，

，，

，

，，，

，

作垂直，由勾股定理可得：

，

设，，

，

解得：，

故的长为．

故答案为．

7．（2019•鄂托克旗一模）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，，则的度数是　　．

【解答】解：一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，，

，

．

故答案为：

知识点3 线段的垂直平分线

1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

【典例】

1.关于线段的垂直平分线有以下说法：

①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；

②线段的垂直平分线是一条直线；

③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；

④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

其中，正确的说法有（　　）  

1. 3个     B. 4个       C. 5个     D. 2个

【答案】B

【解析】解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；

②线段的垂直平分线是一条直线，正确；

③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．错误，线段有2条对称轴：还有它本身所在的直线．

④⑤是线段垂直平分线的性质和判定，正确.

正确的个数是4个.

故选：B．

【方法总结】

1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：

条件1，直线和线段垂直；

条件2，直线经过线段的中点.

2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定.

2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长为______．

【答案】6    

【解析】解：直线CD是线段AB的垂直平分线，PA=4，

∴PA=PB=4，

∵△PAB的周长为14，

∴PA+PB+AB=14，

∴4+4+AB=14，

∴AB=6．

故答案为：6．

【方法总结】

本题考查了垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出相等的线段，再将题中给出的三角形周长表示出来，建立线段之间的关系，进而求解出待求的线段长.

【随堂练习】

1．（2019春•兰州期末）如图，已知是的角平分线，的中垂线交于点，交的延长线于点．以下四个结论：

（1）；（2）；（3）；（4）．恒成立的结论有　　

A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）

【解答】解：（1）是的垂直平分线，

，

；

（2）是的垂直平分线，

，

，

平分，

，

，

；

（3）与不一定互相垂直，

不成立；

（4）由（1）（2）得：，，

又，，

．

故选：．

2.（2019春•南海区期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：的垂直平分线交于点，，

，

，

，

，

，

故选：．

3．（2019春•商河县期末）如图在中，，、的垂直平分线与分别交于、两点，则的周长为　　

A．2 B．4 C．8 D．不能确定

【解答】解：的中垂线交于，的中垂线交于，

，，

则的周长，

故选：．

4．（2019•益阳模拟）如图，是线段的垂直平分线，下列结论一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：是线段的垂直平分线，

，

，正确，

故选：．

5．（2019•昆山市一模）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，若的周长，，则线段的长度等于　　

A． B．9  C．10  D．11

【解答】解：的垂直平分线分别交、于点、，

，

的周长为，

，，

，

故选：．

6.（2019春•丹东期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点后，，于点，求的长．

【解答】解：连接

垂直平分，，

，，

，，

，

．

设，则，

，即，

在中，，

设，则，

，即

知识点4 设计图案

【典例】

1.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出相应的对称轴．

【解析】解：参考图如下图：

【方法总结】

本题是根据轴对称的概念对图形进行设计，可以先在图中确定一条对称轴，再添加相应的正方形；也可以先添加好正方形，再画对称轴进行验证.

【随堂练习】

1.（2017秋•金山区期末）如图，在下列方格纸中，有两个图形．

（1）画出图形①向右平移4个单位所得到的图形（记为③）

（2）画出与图形③关于直线AB成轴对称的图形（记为④）

（3）将图形④与图形②拼成一个整体图形，那么这个整体图形的对称轴有　4　条．

【解答】解：（1）如图所示，图形③即为所求；

（2）如图所示，图形④即为所求；

（4）图形④与图形②拼成一个正方形，其对称轴有4条，

故答案为：4．

   综合运用

1.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案（包括网格）构成一个轴对称图形，则涂色的方法有______种

【答案】5种

【解析】解：如图：

可得使整个图案（包括网格）构成一个轴对称图形，则涂色的方法有5种．

2.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）

A. AB=AD    B. AC平分∠BCD    C. AB=BD     D.

【答案】C.

【解析】解：∵AC垂直平分BD，

∴AB=AD，BC=CD，选项A正确，

∵在△ABE和△ADE中，

∴,

∴∠BAE=∠DAE,

∴AC平分∠BCD，选项B正确，

∴∠BCE=∠DCE，

在Rt△BCE和Rt△DCE中，

,

∴（HL），选项D正确，故选：C．

2.如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】解：轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．

轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线折叠后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．

根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可知，

图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；

图（2）（5）（7）（9）成轴对称．

1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．试说明BC=2AB．

【解析】证明：∵DE是BC的垂直平分线，

∴BE=EC，DE⊥BC，

∵∠A=90°，

∴DA⊥AB．

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴DA=DE，

又∵BD=BD，

∴△ABD△EBD，

∴AB=BE，

∴BC=2AB．

4.已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

【解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，，

∴△ABD△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

5.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

【解析】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，

∴，

 ∴7DE=28．

∴DE=4．