人教版八年级上册13.3.2 等边三角形课后练习题

第7讲 等边三角形

知识点1  等边三角形的性质

1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；

2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；

3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.

【典例】

1.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．

【方法总结】

本题主要考查了等边三角形的性质，即它的每个内角都等于60°，结合翻折变换后的对应边相等，对应角相等，得到所求角与所给角度数之间的关系．

2.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016的度数是（　　）

A.      B.      C.         D.

【方法总结】

本题考查了等边三角形的内角等于60°，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2019•雁塔区校级模拟）如图，，为等边三角形，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

2．（2019春•厦门期末）如图，点在轴负半轴上，，，，，是射线上的点，连接，以为边作等边，点在直线的上方，则下列结论正确的是　　

A．随的增大而减小 B．随的增大而增大 

C．随的增大而减小 D．随的增大而增大

3．（2019•武汉一模）为等边所在平面内一点，若、、都为等腰三角形，则这样的点一共有　　

A．4 B．5 C．6 D．10

二．填空题（共3小题）

4．（2019春•茂名期末）如图，已知：，点、、在射线上，点、、、在射线上，△、△、△、均为等边三角形，若，则△的边长为　　．

5．（2019春•丰泽区期末）如图，边长为3的等边与等边互相重合，将沿直线向左平移个单位长度，将向右也平移个单位长度，如图，当、是线段的三等分点时的值为　　．

6．（2019•岳池县模拟）已知，将一块等边三角形纸板按图所示方式放置，则等于　　．

知识点2 等边三角形的性质与判定

判定方法：

1.三个边都相等的三角形是等边三角形；

2.三个角都相等的三角形是等边三角形；

3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【典例】

1.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的有（　　）

A.3个     B.2个        C.1个       D.0个

【方法总结】

本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件：

1.三个角都是60°或三个边都相等；

2.一个角是60°的等腰三角形.

其余叙述方式，均需要向这两条转化，然后进行判断.

2.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．

【方法总结】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键，要证一个三角形是等边三角形，已知一个60°的角，可再证一个角等于60°或一组边相等.

3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠EBC=∠BED=60°，AD平分∠BAC，求证：∠D=30°．

【方法总结】

本题主要考查的是等边三角形的判定和性质，即有两个角是60°的三角形是等边三角形，还考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及三角形的内角和定理，准确作出辅助线是解题的关键.

【随堂练习】

1．（2019春•莱州市期末）如图，是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有　　个等边三角形．

2．（2019•哈尔滨）如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接、，与交于点，且，若，，则的长为　　．

3．（2019•郑州一模）在同一平面内，将一副直角三角板和如图放置，其中直角顶点是的中点，点在上，则　　．

4．（2018秋•桑植县期末）如图，六边形的六个角都是，边长，，，，则这个六边形的周长是：　　．

二．解答题（共1小题）

5．（2018秋•松桃县期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．

（1）求证：是等边三角形；

（2）若，求的长．

知识点3 直角三角形的性质

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

【典例】

1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．

（1）求证：△ABE△CAD；

（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

2.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的长记为a2，以此类推，若OA1=3，则a2=_________，a2015=__________.

【方法总结】

本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．

3.如图，在锐角三角形ABC中，CM为AB边上的高，P为BC的中点，连接MP，在AC上找到一点N，使NP=MP，连接BN，试判断BN与AC的位置关系，并说明理由．

【方法总结】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质并准确识图是解题的关键．

能根据该性质和已知条件证得下面这一结论，即如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，并且这条边所对的角是直角.

【随堂练习】

1．（2019•云南模拟）如图，在中，，，，则的长是　　

A．2 B．3 C．6 D．

2．（2019•北海一模）如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的长是　　

A． B．4 C． D．2

3．（2018秋•滨海新区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，当，时，的周长为　　

A．12 B．14 C．15 D．16

4．（2018秋•双城区期末）如图，在中，，，，交于点，，则的长为　　

A．8 B．4 C．12 D．6

二．填空题（共1小题）

5．（2019•碑林区校级二模）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为　　．

知识点4 双等边三角形模型的应用

【典例】

1.如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．

（1）求证：△AOC△BOD；

（2）求∠AEB的大小；

（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），则∠AEB的大小_________．（填“变”或“不变”）

【方法总结】

本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，同时要善于利用归纳思想，能根据前一问的解题思路，来灵活解决后面的问题．

注：本题属于双等边三角形模型，要善于利用双等边带来的相等的对应边和对应角，去构造全等来解决问题.

【随堂练习】

1．（2017秋•垦利县期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．

（1）求证：△BCE≌△ACD；

（2）求证：FH∥BD．

   综合运用

1.如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．

2.如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．

3.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．

4.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．

5.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．

6.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？