人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式课时练习

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第10讲  乘法公式一完全平方公式  知识点1 完全平方公式；，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】1.x2﹣4x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）A. 2       B . ﹣2    C. 2和﹣2      D. 4【答案】C.
【解析】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2×2×x+m2，∴m2=22，解得m=2或﹣2．故选：C【方法总结】满足的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．【随堂练习】 知识点2  利用完全平方公式进行数的运算利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.【典例】1.利用完全平方公式计算1012+992得（　　）A. 2002    B. 2×1002  C. 2×1002十1     D. 2×1002+2【答案】D.
【解析】解：1012+992=（100+1）2+（100﹣1）2=1002+200+1+1002﹣200+1=2×1002+2．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际应用.；，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.  知识点3  利用完全平方公式进行整式的运算利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.【典例】1.已知a﹣=2，则a2+的值为（　　）A. 3        B. 4       C. 5        D. 6【答案】D.
【解析】解：把a﹣=2，两边平方得：（a﹣）2=a2+﹣2=4，则a2+=6．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的运用. 当题干中出现“a+”（或者a - ），问题中出现“a2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a﹣）2= a2+ - 2、（a+）2= a2+ + 2，从而得到a2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.  2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？【解析】解：题干是对一个三项式进行平方，可以先对3x+4y﹣6做一个简单的分组，分为3x+4y和-6，这样式子就变成（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2，然后再按照完全平方公式进行计算，计算如下：（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2=（3x+4y）2﹣2（3x+4y）×6+62=9x2+24xy+16y2﹣36x﹣48y+36，常数项为36.【方法总结】完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.【随堂练习】1．（2019春•芷江县期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是　　A． B． C． D．【解答】解：阴影部分的面积，故选：．2．（2019春•余姚市期末）若，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：，，故选：．3．（2019•云南模拟）若，，则的值为　　A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：，，，故选：．4．（2019春•忻城县期中）式子：的运算结果正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：原式，故选：．5．（2019春•淮北期中）若，，则　　A．25 B．17 C．50 D．34【解答】解：，，．故选：．6．（2019春•东台市期中）下列各式能用完全平方公式计算的是　　A． B． C． D．【解答】解：不能用完全平方公式计算；不能用完全平方公式计算；能用完全平方公式计算；不能用平方差公式计算．故选：．7．（2019春•邹平县期中）若，，则的值是　　A．5 B．21 C．29 D．85【解答】解：，，，，．故选：．二．填空题（共2小题）8．（2019春•顺德区期末）计算：　　．【解答】解：．故答案为：．9．（2019春•玄武区期末）若，，则的值为　81　．【解答】解：．故答案为81． 知识点4  完全平方公式的应用【典例】1.设一个正方形的边长为a cm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（　　）A. 9 cm2       B. 6a cm2     C. （6a+9）cm2  D. 无法确定【答案】C.
【解析】解：根据题意得：（a+3）2﹣a2=a2+32+6a﹣a2=6a+9，即新正方形的面积增加了（6a+9）cm2，故选：C【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果. 对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（　　）A. 15     B. 5        C. 12         D. 10【答案】B.
【解析】解：∵2a2+4ab+2b2 =18∴a2+2ab+b2=9∵（a+b）2= a2+2ab+b2 ∴原式=a2+2ab+b2﹣4，=9﹣4，=5．故选：B【方法总结】问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）    B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C. （a+b）2=a2+2ab+b2          D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【答案】C.
【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积等于4个小图形的面积和等于a2+b2+ab+ab，∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C【方法总结】这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）A. 2m    B. （m+n）2     C. （m﹣n）2    D. m2﹣n2【答案】C.
【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．故选：C【方法总结】此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.【随堂练习】1．（2019春•渠县期末）有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形，的面积之和为　　A．13 B．11 C．19 D．21【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由图甲得即，由图乙得，，所以，故选：．2．（2018秋•大连期末）把长和宽分别为和的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是　　A． B． C． D．【解答】解：阴影部分的面积是：；4个长方形的面积是：，验证的等式是：．故选：．3．（2018秋•阳东区期末）如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，故正确；、因为正方形图案面积从整体看是49，从组合来看，可以是，还可以是，所以有，即，所以，即正确；、，故是错误的；、由可知，故正确．故选：．4．（2018秋•无为县期末）如图，两个正方形的边长分别为，，如果，则阴影部分的面积为　　A．9 B．18 C．27 D．36【解答】解：，．故选：．5．（2019•南昌模拟）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：，故选：．6．（2019春•醴陵市期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　　A． B． C． D．【解答】解：图1是一个长为，宽为的长方形，正方形的边长为：，由题意可得，正方形的边长为，正方形的面积为，原矩形的面积为，中间空的部分的面积．故选：．二．填空题（共1小题）7．（2019春•通州区期末）有一个正方形花园，如果它的边长减少2米，那么花园面积将减小24平方米，请你求出原来花园的面积为　49　平方米．【解答】解：设正方形花园的边长为米，根据题意得：，，原来花园的面积，答：原来花园的面积为49平方米；故答案为：49．三．解答题（共1小题）8．（2019春•迁西县期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法　　；方法　　．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　　；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为、，如果，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）由题意可得：方法      方法，故答案为：，；（2），故答案为：；（3）阴影部分的面积阴影部分的面积，，阴影部分的面积．    综合运用1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______【答案】7或﹣1
【解析】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴m﹣3=±4，解得：m=7或﹣1， 2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=   ．【答案】0
【解析】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a﹣2007+a）2=（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________【答案】2a+2
【解析】解：依题意得剩余部分面积为：（a+2）2﹣a2=a2+4a+4﹣a2=4a+4，∵拼成的矩形一边长为2，∴另一边长是（4a+4）÷2=2a+2．4.利用完全平方公式计算：（1）982   （2）10032．【解析】解：（1）982=（100﹣2）2，=10000﹣400+4，=9604；（2）10032=（1000+3）2，=1000000+6000+9，=1006009．
5.运用完全平方公式计算（1）（a+b+c）2；   （2）（a+2b﹣1）2；【解析】解：（1）（a+b+c）2=（a+b）2+2c（a+b）+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2；（2）（a+2b﹣1）2=（a+2b）2﹣2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1；
6.已知，，求x2+的值．【解析】解：将x+=9两边平方得：（x+）2=81，整理得：x2++2=81，则x2+=79．